Пусть -оператор сдвига в . Доказать, что существует единственный самосопряженный оператор , обладающий свойствами: 1) ; 2) .

Добавлена: 16.04.2026
Обновлена: 16.04.2026
Предмет: Теория вероятностей
Автор: Кэмп

#Функциональный анализ
#Спектральная теория операторов

Пусть -оператор сдвига в . Доказать, что существует единственный самосопряженный оператор , обладающий свойствами: 1) ; 2) .

Условие:

Пусть $T$ -оператор сдвига в $l_{2}(\mathbb{Z})\left(T\left\{x_{n}\right\}=\left\{x_{n+1}\right\}\right)$ . Доказать, что существует единственный самосопряженный оператор $A$ , обладающий свойствами:

$T=e^{i A}$ ;
$|A| \leqslant \pi$ .

Решение:

Дано:

Оператор сдвига $T$ в пространстве $l_2(\mathbb{Z})$ :
$T\{x_n\} = \{x_{n+1}\}$
Необходимо доказать существование единственного самосопряженного оператора $A$ , удовлетворяющего условиям:
1. $T = e^{iA}$
2. $|A| \leqslant \pi$

Найти:

Доказать существование и единственность оператора $A$ .

Решение:

Шаг 1: Рассмотрим оператор $T$ .

Оператор сдвига $T$ является унитарным оператором, так как он сохраняет норму в пространстве $l_2(\mathbb{Z})$ . Это означает, что для любого вектора $\{x_n\}$ выполняется:

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое свойство оператора сдвига T в пространстве l2(Z) является ключевым для доказательства существования самосопряженного оператора A, такого что T = e^(iA)?

T является ограниченным оператором.

T является унитарным оператором.

T является самосопряженным оператором.