Пусть X1, . . . , Xn - выборка из дискретного распределения с веро- ятностями P(X1 = m) = pm, сумма по m от 0 до n pm равняется 1 Найти распределение k-ой порядковой статистики X(k)

Для нахождения распределения k-ой порядковой статистики $X{(k)}...1, Xn$ из дискретного распределения с вероятностями $P(Xm$, где сумма вероятностей по всем возможным значениям $m$ равна 1, мы будем следовать следующим шагам:

Порядковая статистика $X{(1)}$ — это минимум, $X_{(2)}$ — это второй по величине элемент и так далее.

Для нахождения распределения $X{(k)} = m$. Это означает, что среди $n$ наблюдений:

• $k-1$ наблюдений должны быть меньше или равны $m$
• $n-k$ наблюдений должны быть больше $m$

Вероятность того, что $X_{(k)} = m$ можно выразить следующим образом:

$$P(Xi \text{ are } \leq m \text{ and } n-k \text{ of } X_i \text{ are } m)$$

Это можно записать как:

$$P(X_{(k)} = m) = \binom{n}{k-1} P(X \leq m)^{k-1} P(X m)^{n-k}$$

где:

• $P(X \leq m) = \sumj$ — вероятность того, что случайная величина меньше или равна $m$
• $P(X m) = 1 - P(X \leq m) = \sumj$

Теперь подставим эти вероятности в формулу:

P(X{j=0}^{m} p{j=m+1}^{n} p_j \right)^{n-k}

Таким образом, мы получили распределение k-ой порядковой статистики $Xm$.

Формула для распределения k-ой порядковой статистики выглядит следующим образом:

P(X{j=0}^{m} p{j=m+1}^{n} p_j \right)^{n-k}

Это и есть искомое распределение k-ой порядковой статистики.