пусть X1, ..., Xn выборка из равномерного распределения на отрезке [a,b], a<b (плотность равна p(x)=1/(b-a), a<x<b) Найти оценки методом моментов для параметров a, b

Для нахождения оценок методом моментов для параметров \( a \) и \( b \) равномерного распределения на отрезке \([a, b]\), следуем следующим шагам:

...

Равномерное распределение на отрезке \([a, b]\) имеет следующие моменты: 1. : \[ E[X] = \frac{a + b}{2} \] 2. : \[ E[X^2] = \frac{a^2 + ab + b^2}{3} \] Для выборки \( X2, \ldots, X_n \) вычисляем выборочные моменты: 1. : \[ \bar{X} = \frac{1}{n} \sumi \] 2. : \[ \bar{X^2} = \frac{1}{n} \sumi^2 \] Сравниваем теоретические моменты с выборочными: 1. Из первого момента: \[ \frac{a + b}{2} = \bar{X} \] Отсюда: \[ a + b = 2\bar{X} \quad (1) \] 2. Из второго момента: \[ \frac{a^2 + ab + b^2}{3} = \bar{X^2} \] Умножим обе стороны на 3: \[ a^2 + ab + b^2 = 3\bar{X^2} \quad (2) \] Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2). 1. Из уравнения (1) выразим \( b \): \[ b = 2\bar{X} - a \] 2. Подставим это значение \( b \) в уравнение (2): \[ a^2 + a(2\bar{X} - a) + (2\bar{X} - a)^2 = 3\bar{X^2} \] Раскроем скобки: \[ a^2 + 2a\bar{X} - a^2 + (4\bar{X}^2 - 4a\bar{X} + a^2) = 3\bar{X^2} \] Упрощаем: \[ 4\bar{X}^2 - 2a\bar{X} = 3\bar{X^2} \] Переносим все в одну сторону: \[ 4\bar{X}^2 - 3\bar{X^2} - 2a\bar{X} = 0 \] Упрощаем: \[ \bar{X}^2 - 2a\bar{X} = 0 \] Факторизуем: \[ \bar{X}(\bar{X} - 2a) = 0 \] Отсюда: \[ \bar{X} = 0 \quad \text{или} \quad a = \frac{\bar{X}}{2} \] Теперь подставим \( a \) обратно в уравнение (1): \[ b = 2\bar{X} - a = 2\bar{X} - \frac{\bar{X}}{2} = \frac{4\bar{X} - \bar{X}}{2} = \frac{3\bar{X}}{2} \] Таким образом, оценки методом моментов для параметров \( a \) и \( b \) равномерного распределения на отрезке \([a, b]\) будут: \[ \hat{a} = 2\bar{X} - b \] \[ \hat{b} = 2\bar{X} \] Где \( \bar{X} \) — выборочное среднее.