Считается, что срок службы осветительной лампы является случайной величиной, распределенной по нормальному закону со средним квадратичным отклонением равным 20 часам. На контрольных испытаниях 16 осветительных ламп в качестве оценки математического

Добавлена: 15.04.2026
Обновлена: 15.04.2026
Предмет: Теория вероятностей
Автор: Кэмп

#Теория вероятностей и математическая статистика
#Математическая статистика

Условие:

Считается, что срок службы осветительной лампы является случайной величиной, распределенной по нормальному закону со средним квадратичным отклонением равным 20 часам. На контрольных испытаниях 16 осветительных ламп в качестве оценки математического ожидания было определено выборочное среднее, которое оказалось равным 3000. С какой вероятностью можно утверждать, что абсолютное значение ошибки определения математического ожидания по эмпирическим данным не превзойдет 10 часов?

Решение:

Чтобы решить эту задачу, воспользуемся теорией статистики и нормальным распределением.

Шаг 1: Дано

Среднее квадратичное отклонение $\sigma = 20$ часов
Выборочный размер $n = 16$
Выборочное среднее $\bar{x} = 3000$ часов
Максимальная допустимая ошибка $E = 10$ часов

Шаг 2: Найти

Нам нужно найти вероятность того, что абсолютное значение ошибки определения математического ожидания не превысит 10 часов, то есть:

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какая формула используется для расчета стандартной ошибки выборочного среднего?

SE = \frac{\sigma}{n}

SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

SE = \sigma \cdot \sqrt{n}

Что нужно знать по теме:

Что нужно знать по теме

Центральная предельная теорема утверждает, что выборочные средние из генеральной совокупности с любым распределением будут иметь приблизительно нормальное распределение, если объем выборки достаточно велик.
Стандартная ошибка среднего (Standard Error of the Mean, SEM) — это стандартное отклонение выборочного среднего, которое показывает, насколько выборочное среднее отклоняется от истинного среднего генеральной совокупности. Она рассчитывается по формуле: SEM = $\sigma / \sqrt{n}$ , где $\sigma$ — стандартное отклонение генеральной совокупности, а $n$ — объем выборки.
Z-оценка (Z-score) — это мера того, сколько стандартных отклонений отделяют наблюдаемое значение от среднего значения. Она позволяет стандартизировать данные и использовать таблицы стандартного нормального распределения для нахождения вероятностей.
Вероятность того, что абсолютное значение ошибки определения математического ожидания не превысит заданного значения $E$ , можно найти, преобразовав ошибку в Z-оценку: $Z = E / SEM$ . Затем по таблице стандартного нормального распределения определяется вероятность $P(-Z < X < Z)$ .
Для нормального распределения вероятность попадания значения в интервал $(-Z, Z)$ равна $P(Z < z) - P(Z < -z)$ , где $P(Z < z)$ — кумулятивная функция распределения стандартного нормального распределения.