Разбор задачи

Случайная величина X задана плотностью вероятности . Найти неизвестный параметр , дисперсию .

Условие:

Случайная величина X задана плотностью вероятности $f(x)$ . Найти неизвестный параметр $A, M(X)$ , дисперсию $D(X)$ .

f(x)=\left\{ \begin{array}{l}0,\quad x\leq1,\ A(x-1),\quad1<x\leq2,\ 0,\quad x>2.\end{array}\right.

Плотность вероятности $f(x)$ должна удовлетворять условию нормировки:

\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1

В нашем случае это означает:

\int_{1}^{2} A(x-1) \, dx = 1

Теперь вычислим интеграл:

\int_{1}^{2} A(x-1) \, dx = A \int_{1}^{2} (x-1) \, dx

Вычислим интеграл $\int (x-1) \, dx$ :

\int (x-1) \, dx = \frac{x^2}{2} - x

Теперь подставим пределы интегрирования:

\left[ \frac{x^2}{2} - x \right]_{1}^{2} = \left( \frac{2^2}{2} - 2 \right) - \left( \frac{1^2}{2} - 1 \right) = \left( 2 - 2 \right) - \left( \frac{1}{2} - 1 \right) = 0 - \left( \frac{1}{2} - 1 \right) = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

Таким образом, имеем:

A \cdot \frac{1}{2} = 1 \implies A = 2

Теперь, когда мы знаем $A$ , можем найти математическое ожидание:

M(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx = \int_{1}^{2} x \cdot 2(x-1) \, dx

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое свойство плотности вероятности $ f(x) $ используется для нахождения неизвестного параметра $ A $ в данной задаче?

Условие нормировки: интеграл от плотности вероятности по всей области определения равен 1.

Математическое ожидание случайной величины равно 0.

Дисперсия случайной величины равна 1.