Случайные величины X и Y имеют следующий совместный закон распределения: 𝑃(𝑋 = −1, 𝑌 = −1) = 1/12; 𝑃(𝑋 = −1, 𝑌 = 0) = 1/6; 𝑃(𝑋 = −1, 𝑌 = 1) = 1/12; 𝑃(𝑋 = 0, 𝑌 = −1) = 1/6; 𝑃(𝑋 = 0, 𝑌 = 0) = 5/12; 𝑃(𝑋 = 0, 𝑌 = 1) = 1/12. Выписать одномерные законы

Добавлена: 14.04.2026
Обновлена: 14.04.2026
Предмет: Теория вероятностей
Автор: Кэмп

#Теория вероятностей и математическая статистика
#Теория случайных величин

Условие:

Случайные величины X и Y имеют следующий совместный закон распределения:
𝑃(𝑋 = −1, 𝑌 = −1) = 1/12;
𝑃(𝑋 = −1, 𝑌 = 0) = 1/6;
𝑃(𝑋 = −1, 𝑌 = 1) = 1/12;
𝑃(𝑋 = 0, 𝑌 = −1) = 1/6;
𝑃(𝑋 = 0, 𝑌 = 0) = 5/12;
𝑃(𝑋 = 0, 𝑌 = 1) = 1/12.
Выписать одномерные законы распределения случайных величин X и Y, вычислить математические ожидания 𝐸(𝑋), 𝐸(𝑌) и дисперсии 𝐷(𝑋), 𝐷(𝑌).
Найти ковариацию 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) и коэффициент корреляции 𝜌(𝑋, 𝑌). Выяснить, зависимы или нет события {𝑌 = −1} и {𝑋 = −0}.
Составить условный закон распределения случайной величины 𝑍 = (𝑌|𝑋 = 0) и найти 𝐸(𝑍) и 𝐷(𝑍).

Решение:

Шаг 1: Выписать одномерные законы распределения случайных величин $X$ и $Y$

Для случайной величины $X$

Мы можем найти вероятности для $X$ :

$P(X = -1)$ :
$\nP(X = -1) = P(X = -1, Y = -1) + P(X = -1, Y = 0) + P(X = -1, Y = 1) = \frac{1}{12} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{1}{12} + \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$
$P(X = 0)$ :
$\nP(X = 0) = P(X = 0, Y = -1) + P(X = 0, Y = 0) + P(X = 0, Y = 1) = \frac{1}{6} + \frac{5}{12} + \frac{1}{12} = \frac{2}{12} + \frac{5}{12} + \frac{1}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$