Случайные величины и (возможно зависимые) обладают конечными дисперсиями и . В каких пределах может изменяться величина ?

Добавлена: 06.05.2026
Обновлена: 06.05.2026
Предмет: Теория вероятностей
Автор: Кэмп

#Теория вероятностей и математическая статистика
#Теория случайных величин

Случайные величины и (возможно зависимые) обладают конечными дисперсиями и . В каких пределах может изменяться величина ?

Условие:

Случайные величины $\xi_{1}$ и $\xi_{2}$ (возможно зависимые) обладают конечными дисперсиями $\mathbf{D} \xi_{1}=\sigma_{1}^{2}$ и $\mathbf{D} \xi_{2}=\sigma_{2}^{2}$ . В каких пределах может изменяться величина $\mathbf{D}\left(\xi_{1}+\xi_{2}\right)$ ?

Решение:

Формула для дисперсии суммы случайных величин:
$\mathbf{D}(\xi_{1} + \xi_{2}) = \mathbf{D}(\xi_{1}) + \mathbf{D}(\xi_{2}) + 2 \mathbf{Cov}(\xi_{1}, \xi_{2}),$
где $\mathbf{Cov}(\xi_{1}, \xi_{2})$ — ковариация случайных величин $\xi_{1}$ и $\xi_{2}$ .
Подстановка значений дисперсий: Подставим известные значения дисперсий:
$\mathbf{D}(\xi_{1} + \xi_{2}) = \sigma_{1}^{2} + \sigma_{2}^{2} + 2 \mathbf{Cov}(\xi_{1}, \xi_{2}).$
Определение пределов ковариации: Ковариация может принимать значения от (-\sqrt{\mathbf{D}(\xi_{1}) \cdot \mathbf{D}(\xi_{2})}) до (\sqrt{\mathbf{D}(\xi_{1}) \cdot \mathbf{D}(\xi_{2})}). То есть:
$-\sqrt{\sigma_{1}^{2} \sigma_{2}^{2}} \leq \mathbf{Cov}(\xi_{1}, \xi_{2}) \leq \sqrt{\sigma_{1}^{2} \sigma_{2}^{2}}.$
...