Совместный закон распределения случайных величии Х и Y задан таблицей. Значения Х - указаны в строках, значения Y - в столбцах. X/Y. Y=0. Y=1 X=1. 0,1. 0,1 X=2. 0.15 X=3. 0,15. 0,1 Найдите: а) дисперсию D(3 - 2X) б) корреляцию сог (3 - 2X, SY + 2)

24 октября 2025
Теория вероятностей

Условие:

Совместный закон распределения случайных величии Х и Y задан таблицей. Значения Х -
указаны в строках, значения Y - в столбцах.

X/Y. Y=0. Y=1
X=1. 0,1. 0,1
X=2. 0.15
X=3. 0,15. 0,1
Найдите:
а) дисперсию D(3 - 2X)
б) корреляцию сог (3 - 2X, SY + 2)

Решение:

Для решения задачи сначала найдем необходимые характеристики случайных величин X и Y, а затем вычислим дисперсию и корреляцию. 1. Находим вероятности для X и Y. Сначала заполним таблицу веро...

Теперь найдем полные вероятности для X и Y. - Для X=1: P(X=1) = P(X=1, Y=0) + P(X=1, Y=1) = 0,1 + 0,1 = 0,2 - Для X=2: P(X=2) = P(X=2, Y=0) + P(X=2, Y=1) = 0,15 + 0 = 0,15 - Для X=3: P(X=3) = P(X=3, Y=0) + P(X=3, Y=1) = 0,15 + 0,1 = 0,25 Теперь найдем P(Y=0) и P(Y=1): - P(Y=0) = P(X=1, Y=0) + P(X=2, Y=0) + P(X=3, Y=0) = 0,1 + 0,15 + 0,15 = 0,4 - P(Y=1) = P(X=1, Y=1) + P(X=2, Y=1) + P(X=3, Y=1) = 0,1 + 0 + 0,1 = 0,2 2. E(X) = Σ [x * P(X=x)]: E(X) = 1 0,15 + 3 * 0,25 = 0,2 + 0,3 + 0,75 = 1,25 E(Y) = Σ [y * P(Y=y)]: E(Y) = 0 0,2 = 0 + 0,2 = 0,2 3. D(X) = E(X) - (E(X)). Сначала найдем E(X): E(X) = 1 0,15 + 3 * 0,25 = 0,2 + 0,6 + 2,25 = 3,05 Теперь найдем D(X): D(X) = E(X) - (E(X)) = 3,05 - (1,25) = 3,05 - 1,5625 = 1,4875 Теперь найдем D(Y): E(Y) = 0 0,2 = 0 + 0,2 = 0,2 D(Y) = E(Y) - (E(Y)) = 0,2 - (0,2) = 0,2 - 0,04 = 0,16 4. D(3 - 2X) = D(-2X) = 4D(X) (так как D(aX) = aD(X)). D(3 - 2X) = 4 * 1,4875 = 5,95. 5. Сначала найдем E(Y + 2): E(Y + 2) = E(Y) + 2 = 0,2 + 2 = 2,2. Теперь найдем cov(3 - 2X, Y + 2): cov(3 - 2X, Y + 2) = cov(-2X, Y + 2) = -2cov(X, Y). Для нахождения cov(X, Y) используем: cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y). Сначала найдем E(XY): E(XY) = Σ [x P(X=x, Y=y)]: E(XY) = 1 0,1 + 1 0,1 + 2 0,15 + 3 0,15 + 3 0,1 = 0 + 0,1 + 0 + 0 + 0,3 = 0,4. Теперь найдем cov(X, Y): cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = 0,4 - (1,25 * 0,2) = 0,4 - 0,25 = 0,15. Теперь найдем cov(3 - 2X, Y + 2): cov(3 - 2X, Y + 2) = -2 * 0,15 = -0,3. Теперь найдем D(Y + 2): D(Y + 2) = D(Y) = 0,16 (дисперсия не меняется при добавлении константы). 6. corr(3 - 2X, Y + 2) = cov(3 - 2X, Y + 2) / sqrt(D(3 - 2X) * D(Y + 2)). corr(3 - 2X, Y + 2) = -0,3 / sqrt(5,95 * 0,16). Теперь вычислим: sqrt(5,95 * 0,16) = sqrt(0,952) ≈ 0,975. corr(3 - 2X, Y + 2) = -0,3 / 0,975 ≈ -0,3077. Таким образом, ответы на вопросы: а) D(3 - 2X) = 5,95. б) corr(3 - 2X, Y + 2) ≈ -0,3077.