Вариант 12 1. В группе из 5 изделий имеется одно бракованное. Вынимают наугад по одному изделию и проверяют его. Х - число извлеченных деталей до обнаружения бракованной. Составьте закон распределения случайной величины Х, вычислите ее математическое

Для решения задачи о случайной величине \(X\), которая представляет собой количество извлеченных деталей до обна...

В группе из 5 изделий одно бракованное. Следовательно, есть 4 исправных изделия. Мы будем извлекать изделия до тех пор, пока не найдем бракованное.

• Вероятность того, что бракованное изделие будет найдено с первого раза (то есть (X = 1)):

  $$P(X = 1) = \frac{1}{5}$$

• Вероятность того, что первое изделие исправное, а второе бракованное (то есть (X = 2)):

  $$P(X = 2) = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{5}$$

• Вероятность того, что первые два изделия исправные, а третье бракованное (то есть (X = 3)):

  $$P(X = 3) = \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{5}$$

• Вероятность того, что первые три изделия исправные, а четвертое бракованное (то есть (X = 4)):

  $$P(X = 4) = \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{5}$$

• Вероятность того, что первые четыре изделия исправные, а пятое бракованное (то есть (X = 5)):

  $$P(X = 5) = \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{5}$$

Таким образом, закон распределения случайной величины (X) можно записать следующим образом:

$$\begin{align*} P(X = 1) = \frac{1}{5} \\ P(X = 2) = \frac{1}{5} \\ P(X = 3) = \frac{1}{5} \\ P(X = 4) = \frac{1}{5} \\ P(X = 5) = \frac{1}{5} \\ \end{align*}$$

Математическое ожидание (E(X)) вычисляется по формуле:

$$E(X) = \sum_{i=1}^{n} i \cdot P(X = i)$$

Подставим значения:

$$E(X) = 1 \cdot \frac{1}{5} + 2 \cdot \frac{1}{5} + 3 \cdot \frac{1}{5} + 4 \cdot \frac{1}{5} + 5 \cdot \frac{1}{5}$$

$$E(X) = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{5} = \frac{15}{5} = 3$$

Дисперсия (D(X)) вычисляется по формуле:

$$D(X) = E(X^2) - (E(X))^2$$

Сначала найдем (E(X^2)):

$$E(X^2) = \sum_{i=1}^{n} i^2 \cdot P(X = i)$$

Подставим значения:

$$E(X^2) = 1^2 \cdot \frac{1}{5} + 2^2 \cdot \frac{1}{5} + 3^2 \cdot \frac{1}{5} + 4^2 \cdot \frac{1}{5} + 5^2 \cdot \frac{1}{5}$$

$$E(X^2) = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25}{5} = \frac{55}{5} = 11$$

Теперь подставим в формулу для дисперсии:

$$D(X) = 11 - 3^2 = 11 - 9 = 2$$

Среднее квадратическое отклонение (\sigma(X)) вычисляется как:

$$\sigma(X) = \sqrt{D(X)} = \sqrt{2}$$

Функция распределения (F(x)) определяется как:

$$F(x) = P(X \leq x)$$

Для нашего случая:

$$\begin{align*} F(1) = P(X = 1) = \frac{1}{5} \\ F(2) = P(X = 1) + P(X = 2) = \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{2}{5} \\ F(3) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = \frac{3}{5} \\ F(4) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) = \frac{4}{5} \\ F(5) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) = 1 \\ \end{align*}$$

График функции распределения будет представлять собой ступенчатую функцию, где значения (F(x)) будут увеличиваться на (\frac{1}{5}) при каждом увеличении (x) на 1.

• Закон распределения:

  $$\begin{align*} P(X = 1) = \frac{1}{5} \\ P(X = 2) = \frac{1}{5} \\ P(X = 3) = \frac{1}{5} \\ P(X = 4) = \frac{1}{5} \\ P(X = 5) = \frac{1}{5} \\ \end{align*}$$

• Математическое ожидание (E(X) = 3)

• Дисперсия (D(X) = 2)

• Среднее квадратическое отклонение (\sigma(X) = \sqrt{2})

График функции распределения можно построить, используя значения (F(x)) для (x = 1, 2, 3, 4, 5).