110 В ящике 20 левых и 20 правых перчаток. Сколько нужно достать перчаток, не глядя в ящик, чтобы среди вынутых перчаток нашлась хотя бы одна левая и хотя бы одна правая перчатка: a) наверняка (с вероятностью 1 ); б) с вероятностью не меньше чем 0,95 ?

Чтобы решить эту задачу, давайте разберем оба пункта по порядку.

a) Сколько нужно достать перчаток, чтобы наверняка (с вероятностью 1) среди вынутых перчаток нашлась хотя бы одна левая и хотя бы одна правая перчатка?

В ящике у нас 20 левых и 20 правых перчаток. Чтобы гарантировать, что у нас будет хотя бы одна левая и одна правая перчатка, нам нужно учесть самый неблагоприятный случай.

1. Не...: Мы можем сначала достать все перчатки одного типа. Например, если мы сначала достанем все 20 левых перчаток, то нам нужно будет достать хотя бы одну правую перчатку, чтобы удовлетворить условию. 2. : 20 левых + 20 правых = 40 перчаток. 3. : Если мы достанем 20 левых, нам нужно будет достать еще 1 правую, чтобы гарантировать наличие обеих типов. Таким образом, нам нужно достать 20 + 1 = 21 перчатку.

: Нужно достать 21 перчатку.

Для этого мы можем использовать метод вероятностей.

1. .
2. :
   • Если мы достаем только левые перчатки, то вероятность этого события равна:
     $$P(\text{все левые}) = \frac{20}{40} \cdot \frac{19}{39} \cdot \frac{18}{38} \cdots \frac{20-n+1}{40-n+1}$$
   • Аналогично, вероятность того, что все n перчаток будут правыми:
     $$P(\text{все правые}) = \frac{20}{40} \cdot \frac{19}{39} \cdots \frac{20-n+1}{40-n+1}$$
3. :
   $$P(\text{все одного типа}) = P(\text{все левые}) + P(\text{все правые})$$
4. :
   $$P(\text{хотя бы одна левая и одна правая}) = 1 - P(\text{все одного типа})$$

Теперь нам нужно найти минимальное n, такое что:

$$1 - P(\text{все одного типа}) \geq 0.95$$

или

$$P(\text{все одного типа}) \leq 0.05$$

Теперь давайте подберем n:

• Для n = 1:
  $$P(\text{все одного типа}) = 1 \quad (\text{не подходит})$$
• Для n = 2:
  $$P(\text{все одного типа}) = 0.5 \quad (\text{не подходит})$$
• Для n = 3:
  $$P(\text{все одного типа}) = 0.375 \quad (\text{не подходит})$$
• Для n = 4:
  $$P(\text{все одного типа}) = 0.25 \quad (\text{не подходит})$$
• Для n = 5:
  $$P(\text{все одного типа}) = 0.1875 \quad (\text{не подходит})$$
• Для n = 6:
  $$P(\text{все одного типа}) = 0.125 \quad (\text{не подходит})$$
• Для n = 7:
  $$P(\text{все одного типа}) = 0.078125 \quad (\text{подходит})$$

Таким образом, для n = 7 вероятность того, что среди вынутых перчаток будет хотя бы одна левая и одна правая, составляет более 0.95.

: Нужно достать 7 перчаток.