В лифт 7-этажного дома сели 5 пассажиров. Каждый пассажир независимо от других с равной вероятностью может выйти на любом этаже, начиная со второго. Найти вероятности следующих событий: A –– все пассажиры вышли на разных этажах; B –– все вышли выше

Для решения задачи о вероятностях событий, связанных с выходом пассажиров на этажах, начнем с определения общег...

Каждый из 5 пассажиров может выйти на одном из 6 этажей (со 2-го по 7-й). Таким образом, общее количество возможных исходов можно вычислить как:

$$N_{\text{всего}} = 6^5 = 7776$$

Чтобы все 5 пассажиров вышли на разных этажах, мы можем выбрать 5 этажей из 6 и затем расположить пассажиров на этих этажах. Количество способов выбрать 5 этажей из 6:

$$C(6, 5) = 6$$

После выбора этажей, мы можем разместить 5 пассажиров на этих 5 этажах, что можно сделать 5! (факториал 5) способами:

$$5! = 120$$

Таким образом, общее количество благоприятных исходов для события A:

$$N_A = 6 \times 120 = 720$$

Вероятность события A:

$$P(A) = \frac{N{\text{всего}}} = \frac{720}{7776} = \frac{5}{54} \approx 0.0926$$

Этажи выше четвертого – это 5-й, 6-й и 7-й. У нас есть 3 этажа, и каждый из 5 пассажиров может выйти на любом из этих этажей. Общее количество благоприятных исходов:

$$N_B = 3^5 = 243$$

Вероятность события B:

$$P(B) = \frac{N{\text{всего}}} = \frac{243}{7776} = \frac{1}{32} \approx 0.03125$$

Если никто не вышел на пятом этаже, то у нас остаются 5 этажей (2-й, 3-й, 4-й, 6-й, 7-й). Общее количество благоприятных исходов:

$$N_C = 5^5 = 3125$$

Вероятность события C:

$$P(C) = \frac{N{\text{всего}}} = \frac{3125}{7776} \approx 0.4019$$

Событие D является комплементарным к событию A (все вышли на разных этажах). Таким образом, мы можем использовать вероятность события A для нахождения вероятности события D:

$$P(D) = 1 - P(A) = 1 - \frac{5}{54} = \frac{49}{54} \approx 0.9074$$

• $P(A) \approx 0.0926$
• $P(B) \approx 0.03125$
• $P(C) \approx 0.4019$
• $P(D) \approx 0.9074$