В урне 36 шаров, из которых два чёрных, а остальные белые. Наугад выбирается 18 шаров. Найдите вероятности следующих событий: A –– среди выбранных оказались оба чёрных шара; B –– ни один из чёрных шаров не выбран; C –– среди выбранных шаров только один

Для решения задачи о вероятностях событий A, B и C, воспользуемся комбинаторикой.

Обозначим:

• $N = 36$ — общее количество шаров,
• $K = 2$ — количество черных шаров,
• $W = ...

Чтобы событие A произошло, мы должны выбрать 2 черных шара и 16 белых шаров. Количество способов выбрать 2 черных шара из 2:

$$C(2, 2) = 1$$

Количество способов выбрать 16 белых шаров из 34:

$$C(34, 16)$$

Таким образом, общее количество благоприятных исходов для события A:

$$C(2, 2) \cdot C(34, 16) = 1 \cdot C(34, 16)$$

Вероятность события A:

$$P(A) = \frac{C(2, 2) \cdot C(34, 16)}{C(36, 18)} = \frac{C(34, 16)}{C(36, 18)}$$

Чтобы событие B произошло, мы должны выбрать 18 белых шаров из 34. Количество способов выбрать 18 белых шаров:

$$C(34, 18)$$

Вероятность события B:

$$P(B) = \frac{C(34, 18)}{C(36, 18)}$$

Чтобы событие C произошло, мы должны выбрать 1 черный шар и 17 белых шаров. Количество способов выбрать 1 черный шар из 2:

$$C(2, 1) = 2$$

Количество способов выбрать 17 белых шаров из 34:

$$C(34, 17)$$

Общее количество благоприятных исходов для события C:

$$C(2, 1) \cdot C(34, 17) = 2 \cdot C(34, 17)$$

Вероятность события C:

$$P(C) = \frac{C(2, 1) \cdot C(34, 17)}{C(36, 18)} = \frac{2 \cdot C(34, 17)}{C(36, 18)}$$

Теперь у нас есть формулы для вероятностей всех трех событий:

1. $P(A) = \frac{C(34, 16)}{C(36, 18)}$
2. $P(B) = \frac{C(34, 18)}{C(36, 18)}$
3. $P(C) = \frac{2 \cdot C(34, 17)}{C(36, 18)}$

Для окончательных значений вероятностей нужно подставить значения биномиальных коэффициентов и вычислить их.