В урне имеется n шаров, причем цвет каждого из них с равной вероятностью может быть белым или черным. Извлекаются последовательно k шаров, причем каждый раз после извлечения шар возвращается в урну. Какова вероятность того, что в урне содержатся только

Добавлена: 12.05.2026
Обновлена: 12.05.2026
Предмет: Теория вероятностей
Автор: Кэмп

#Теория вероятностей и математическая статистика
#Теория случайных величин

Условие:

В урне имеется n шаров, причем цвет каждого из них с равной вероятностью может быть белым или черным. Извлекаются последовательно k шаров, причем каждый раз после извлечения шар возвращается в урну. Какова вероятность того, что в урне содержатся только белые шары, если черные не извлекались.

Решение:

Обозначим события:
- A: в урне только белые шары.
- B: черные шары не были извлечены.
Нам нужно найти вероятность P(A | B), то есть вероятность того, что в урне только белые шары при условии, что черные шары не были извлечены.
По формуле Байеса:
P(A | B) = P(B | A) * P(A) / P(B)
Теперь найдем каждую из вероятностей:
- P(A): вероятность того, что в урне только белые шары. Если всего n шаров, то вероятность того, что все они белые, равна (1/2)^n, так как каждый шар может быть белым или черным с равной вероятностью.
  
  P(A) = (1/2)^n.
- P(B | A): вероятность того, что черные шары не были извлечены, если в урне только белые шары. Если в урне только белые шары, то вероятность не извлечения черных шаров равна 1, так как черных шаров просто нет.
  
  P(B | A) =
  1.
- P(B): вероятность того, что черные шары не были извлечены. Для этого рассмотрим все возможные комбинации шаров. Если в урне m черных и n - m белых шаров, то вероятность не извлечения черных шаров при k извлечениях равна (m/(m+n))^k. Однако, чтобы учесть все возможные случаи, нужно просуммировать по всем возможным значениям m от 0 до n.
  
  P(B) = сумма по m от 0 до n: (1/2)^n *...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какая из следующих формул правильно описывает вероятность P(A) того, что в урне содержатся только белые шары, если каждый из n шаров с равной вероятностью может быть белым или черным?

P(A) = 1/n

P(A) = (1/2)^n

P(A) = 1/2