Вероятность появления события А в одном опыте P=0,5. Можно ли с вероятностью, большей 0,97, утверждать, что число появлений события А в 1000 независимых опытах будет в пределах от 400 до 600?

Определим параметры распределения:

• Вероятность появления события $A$: $P(A) = 0,5$
• Число опытов: $n = 1000$

Рассчитаем математическое ожидание и дисперсию:

• Математическое ожидание $E(X)$ для биномиального распределения:
  $$E(X) = n \cdot P(A) = 1000 \cdot 0,5 = 500$$
• Дисперсия $Var(X)$:
  $$Var(X) = n \cdot P(A) \cdot (1 - P(A)) = 1000 \cdot 0,5 \cdot 0,5 = 250$$
• Стандартное отклонение $\sigma$:
  $$\sigma = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{250} \approx 15,81$$

Нормализуем распределение: Мы можем использовать нормальное распределение для приближенного анализа. Для этого мы будем использовать стандартное нормальное распределение $Z$: