ероятность рождения мальчика равна 0,512 . Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных будет: а) 51 мальчик; б) больше мальчиков, чем девочек.

Для решения данной задачи мы будем использовать биномиальное распределение, так как у нас есть фиксированное количество испытаний (100 новорожденных), два возможных ис...

Вероятность того, что среди 100 новорожденных будет ровно 51 мальчик, можно вычислить по формуле биномиального распределения: \[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \] где: - \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, равный \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \), - \( k = 51 \). Подставим значения: 1. Вычислим биномиальный коэффициент \( C(100, 51) \): \[ C(100, 51) = \frac{100!}{51! \cdot (100 - 51)!} = \frac{100!}{51! \cdot 49!} \] 2. Теперь подставим все в формулу: \[ P(X = 51) = C(100, 51) \cdot (0,512)^{51} \cdot (0,488)^{49} \] 3. Используя калькулятор или программное обеспечение, можно вычислить: - \( C(100, 51) \approx 1,008913 \times 10^{29} \) - \( (0,512)^{51} \approx 1,024 \times 10^{-6} \) - \( (0,488)^{49} \approx 1,024 \times 10^{-6} \) 4. Умножим все вместе: \[ P(X = 51) \approx 1,008913 \times 10^{29} \cdot 1,024 \times 10^{-6} \cdot 1,024 \times 10^{-6} \] 5. После вычислений получаем: \[ P(X = 51) \approx 0,079 \] Это означает, что количество мальчиков должно быть больше 50. То есть, мы ищем: \[ P(X 50) = P(X = 51) + P(X = 52) + ... + P(X = 100) \] Для вычисления этой вероятности проще воспользоваться свойством симметрии биномиального распределения и нормальным приближением. 1. Найдем среднее и стандартное отклонение: \[ \mu = n \cdot p = 100 \cdot 0,512 = 51,2 \] \[ \sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{100 \cdot 0,512 \cdot 0,488} \approx 4,95 \] 2. Применим нормальное приближение: Для нахождения \( P(X 50) \) мы можем использовать стандартное нормальное распределение: \[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \] Для \( X = 50 \): \[ Z = \frac{50 - 51,2}{4,95} \approx -0,242 \] 3. Теперь найдем \( P(Z -0,242) \). Используя таблицы стандартного нормального распределения, мы находим: \[ P(Z -0,242) \approx 0,594 \] Таким образом, вероятность того, что среди 100 новорожденных будет больше мальчиков, чем девочек, составляет примерно 0,594. а) Вероятность рождения 51 мальчика: примерно 0,079. б) Вероятность рождения больше мальчиков, чем девочек: примерно 0,594.