Вероятность того, что студент найдет в библиотеке нужный ему учебник, равна 0,4. Составить ряд распределения числа библиотек, которые посетил студент в поисках учебника, если в городе 4 библиотеки, построить многоугольник распределения. Найти M(X), D(X),

Для решения данной задачи мы будем использовать биномиальное распределение, так как у нас есть фиксированное количество испытаний (посещение библиотек), два возможных исхода (найти учебник или не найти) ...

- Обозначим: - \( n = 4 \) (количество библиотек) - \( p = 0.4 \) (вероятность найти учебник) - \( q = 1 - p = 0.6 \) (вероятность не найти учебник) Ряд распределения показывает вероятность того, что студент найдет учебник в \( k \) библиотеках, где \( k \) может принимать значения от 0 до 4. Формула для биномиального распределения: \[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \] где \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, равный \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \). Теперь вычислим вероятности для каждого значения \( k \): 1. : \[ P(X = 0) = C(4, 0) \cdot (0.4)^0 \cdot (0.6)^4 = 1 \cdot 1 \cdot 0.1296 = 0.1296 \] 2. : \[ P(X = 1) = C(4, 1) \cdot (0.4)^1 \cdot (0.6)^3 = 4 \cdot 0.4 \cdot 0.216 = 0.3456 \] 3. : \[ P(X = 2) = C(4, 2) \cdot (0.4)^2 \cdot (0.6)^2 = 6 \cdot 0.16 \cdot 0.36 = 0.3456 \] 4. : \[ P(X = 3) = C(4, 3) \cdot (0.4)^3 \cdot (0.6)^1 = 4 \cdot 0.064 \cdot 0.6 = 0.1536 \] 5. : \[ P(X = 4) = C(4, 4) \cdot (0.4)^4 \cdot (0.6)^0 = 1 \cdot 0.0256 \cdot 1 = 0.0256 \] Теперь мы можем составить ряд распределения: \[ \begin{array}{|c|c|} \hline k P(X = k) \\ \hline 0 0.1296 \\ 1 0.3456 \\ 2 0.3456 \\ 3 0.1536 \\ 4 0.0256 \\ \hline \end{array} \] Для построения многоугольника распределения, мы можем использовать значения \( k \) по оси X и соответствующие вероятности \( P(X = k) \) по оси Y. Соединим точки, чтобы получить многоугольник. Формула для математического ожидания: \[ M(X) = n \cdot p = 4 \cdot 0.4 = 1.6 \] Формула для дисперсии: \[ D(X) = n \cdot p \cdot q = 4 \cdot 0.4 \cdot 0.6 = 0.96 \] Стандартное отклонение: \[ \sigma(X) = \sqrt{D(X)} = \sqrt{0.96} \approx 0.98 \] Функция распределения \( F(x) \) показывает вероятность того, что случайная величина \( X \) примет значение меньше или равно \( x \). - \( F(0) = P(X \leq 0) = P(X = 0) = 0.1296 \) - \( F(1) = P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0.1296 + 0.3456 = 0.4752 \) - \( F(2) = P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0.4752 + 0.3456 = 0.8208 \) - \( F(3) = P(X \leq 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 0.8208 + 0.1536 = 0.9744 \) - \( F(4) = P(X \leq 4) = 1 \) Для построения графика функции распределения, мы можем использовать значения \( x \) (0, 1, 2, 3, 4) по оси X и соответствующие значения \( F(x) \) по оси Y. - Математическое ожидание \( M(X) = 1.6 \) - Дисперсия \( D(X) = 0.96 \) - Стандартное отклонение \( \sigma(X) \approx 0.98 \) - Ряд распределения и функция распределения построены.