Вероятность того, что у зеленоглазых родителей родится ребенок с голубым цветом глаз, равна 0,25. Составить ряд распределения числа голубоглазых детей в семье, имеющей пять детей. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение.

1. Дано

• Вероятность рождения голубоглазого ребенка в одной семье: $p = 0,25 = \frac{1}{4}$.
• Вероятность рождения ребенка с другим цветом глаз: $q = 1 - p = 0,75 = \frac{3}{4}$.
• Количество детей (число испытаний): $n = 5$.
• Случайная величина $X$ — число голубоглазых детей в семье. Она принимает значения $k \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$.

2. Решение

Ряд распределения

Вероятность того, что среди $n$ детей будет ровно $k$ голубоглазых, вычисляется по формуле:

Вычислим вероятности для каждого $k$:

• $P(X=0) = C_5^0 \cdot (0,25)^0 \cdot (0,75)^5 = 1 \cdot 1 \cdot \frac{243}{1024} \approx 0,237$
• $P(X=1) = C_5^1 \cdot (0,25)^1 \cdot (0,75)^4 = 5 \cdot 0,25 \cdot \frac{81}{256} = \frac{405}{1024} \approx 0,396$...