Всхожесть семян данного сорта растений оценивается вероятностью p. Посеяно n семян. Найти: 1) вероятность того, что что будет не менее k всходов; 2) наивероятнейшее число всходов среди посеянных семян. P=0,8; n=5; k=4.

Для решения данной задачи мы будем использовать биномиальное распределение, так как мы имеем дело с независимыми испытаниями (всходами семян), где каждое испы...

Для нахождения вероятности того, что будет не менее $k$ всходов, мы можем использовать формулу для биномиального распределения:

$$P(X = x) = C(n, x) \cdot p^x \cdot (1-p)^{n-x}$$

где $C(n, x)$ — биномиальный коэффициент, который вычисляется как:

$$C(n, x) = \frac{n!}{x!(n-x)!}$$

Мы ищем вероятность $P(X \geq k)$, что можно выразить как:

$$P(X \geq k) = P(X = k) + P(X = k+1) + ... + P(X = n)$$

В нашем случае это будет:

$$P(X \geq 4) = P(X = 4) + P(X = 5)$$

Теперь вычислим каждую из вероятностей.

$$P(X = 4) = C(5, 4) \cdot (0.8)^4 \cdot (0.2)^1$$

Сначала находим биномиальный коэффициент:

$$C(5, 4) = \frac{5!}{4! \cdot 1!} = 5$$

Теперь подставим значения:

$$P(X = 4) = 5 \cdot (0.8)^4 \cdot (0.2)^1 = 5 \cdot 0.4096 \cdot 0.2 = 5 \cdot 0.08192 = 0.4096$$

$$P(X = 5) = C(5, 5) \cdot (0.8)^5 \cdot (0.2)^0$$

Биномиальный коэффициент:

$$C(5, 5) = 1$$

Теперь подставим значения:

$$P(X = 5) = 1 \cdot (0.8)^5 \cdot 1 = 0.32768$$

$$P(X \geq 4) = P(X = 4) + P(X = 5) = 0.4096 + 0.32768 = 0.73728$$

Наивероятнейшее число всходов (мода) в биномиальном распределении можно найти по формуле:

$$\text{мода} = \lfloor (n + 1) \cdot p \rfloor$$

Подставим наши значения:

$$\text{мода} = \lfloor (5 + 1) \cdot 0.8 \rfloor = \lfloor 6 \cdot 0.8 \rfloor = \lfloor 4.8 \rfloor = 4$$

1. Вероятность того, что будет не менее 4 всходов: $P(X \geq 4) \approx 0.73728$

2. Наивероятнейшее число всходов: 4