Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной стучайной величины ( ) Найти: а) плотности распределения составляющих; б) ус ловные плотности распределения составляющих.

Добавлена: 13.05.2026
Обновлена: 13.05.2026
Предмет: Теория вероятностей
Автор: Кэмп

#Теория вероятностей и математическая статистика
#Теория случайных величин

Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной стучайной величины ( ) Найти: а) плотности распределения составляющих; б) ус ловные плотности распределения составляющих.

Условие:

Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной стучайной величины ( $X, Y$ )

f(x,y)=\frac{1}{\pi}\mathrm{e}^{-(1/2)\left(x^2+2xy+5y^2\right)}.

Найти: а) плотности распределения составляющих; б) ус ловные плотности распределения составляющих.

Решение:

Для решения задачи начнем с анализа заданной плотности совместного распределения:

f(x,y) = \frac{1}{\pi} e^{-\frac{1}{2}(x^2 + 2xy + 5y^2)}.

а) Чтобы найти плотности распределения составляющих $X$ и $Y$ , нам нужно интегрировать совместную плотность по одной из переменных.

Найдем плотность распределения $X$ :

$f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) \, dy.$
Подставим $f(x,y)$ :

$f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\pi} e^{-\frac{1}{2}(x^2 + 2xy + 5y^2)} \, dy.$
Для упрощения интеграла, заметим, что выражение в экспоненте можно переписат...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое из следующих утверждений верно относительно плотности совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины, заданной формулой $f(x,y)=\frac{1}{\pi}\mathrm{e}^{-(1/2)\left(x^2+2xy+5y^2\right)}$?

Данная плотность соответствует двумерному нормальному распределению.

Данная плотность соответствует двумерному равномерному распределению.

Данная плотность соответствует двумерному экспоненциальному распределению.