Задание №2. Вывести методом наибольшего правдоподобия точечные оценки для неизвестных параметров предполагаемого нормального распределения в общем виде и найти их для указанных статистических данны́х. Статистические данные:

Для решения задачи о нахождении точечных оценок параметров нормального распределения методом наибольшего правдоподобия, начнем с определения необходимых параметров.

Пр...

Сначала определим выборочные данные на основе предоставленной таблицы. У нас есть интервалы и количество наблюдений в каждом интервале:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \mathrm{x}{\mathrm{i}+1} 0 ; 5 5 ; 10 10 ; 15 15 ; 20 20 ; 25 \\ \hline \mathrm{n}_{\mathrm{i}} 15 75 100 50 10 \\ \hline \end{array}$$

Теперь найдем общее количество наблюдений $N$:

$$N = 15 + 75 + 100 + 50 + 10 = 250$$

Для нахождения выборочного среднего $\bar{x}$ используем формулу:

$$\bar{x} = \frac{\sum (xi)}{N}$$

Где $xi$ - количество наблюдений в этом интервале.

Сначала найдем середины интервалов:

• Для интервала $[0, 5]$: $x_1 = \frac{0 + 5}{2} = 2.5$
• Для интервала $[5, 10]$: $x_2 = \frac{5 + 10}{2} = 7.5$
• Для интервала $[10, 15]$: $x_3 = \frac{10 + 15}{2} = 12.5$
• Для интервала $[15, 20]$: $x_4 = \frac{15 + 20}{2} = 17.5$
• Для интервала $[20, 25]$: $x_5 = \frac{20 + 25}{2} = 22.5$

Теперь вычислим $\bar{x}$:

$$\bar{x} = \frac{(2.5 \cdot 15) + (7.5 \cdot 75) + (12.5 \cdot 100) + (17.5 \cdot 50) + (22.5 \cdot 10)}{250}$$

Вычислим числитель:

$$= (37.5) + (562.5) + (1250) + (875) + (225) = 2950$$

Теперь подставим в формулу:

$$\bar{x} = \frac{2950}{250} = 11.8$$

Выборочная дисперсия $S^2$ рассчитывается по формуле:

$$S^2 = \frac{\sum ni - \bar{x})^2}{N}$$

Сначала найдем $(x_i - \bar{x})^2$:

• Для $x_1 = 2.5$: $(2.5 - 11.8)^2 = 86.44$
• Для $x_2 = 7.5$: $(7.5 - 11.8)^2 = 19.36$
• Для $x_3 = 12.5$: $(12.5 - 11.8)^2 = 0.49$
• Для $x_4 = 17.5$: $(17.5 - 11.8)^2 = 31.36$
• Для $x_5 = 22.5$: $(22.5 - 11.8)^2 = 113.76$

Теперь вычислим $S^2$:

$$S^2 = \frac{(15 \cdot 86.44) + (75 \cdot 19.36) + (100 \cdot 0.49) + (50 \cdot 31.36) + (10 \cdot 113.76)}{250}$$

Вычислим числитель:

$$= (1296.6) + (1452) + (49) + (1568) + (1137.6) = 4503.2$$

Теперь подставим в формулу:

$$S^2 = \frac{4503.2}{250} = 18.0128$$

Теперь мы можем записать точечные оценки для параметров нормального распределения:

• Оценка математического ожидания $\mu$: $\hat{\mu} = \bar{x} = 11.8$
• Оценка дисперсии $\sigma^2$: $\hat{\sigma}^2 = S^2 = 18.0128$

Таким образом, точечные оценки для неизвестных параметров нормального распределения:

$$\hat{\mu} = 11.8, \quad \hat{\sigma}^2 = 18.0128$$