Заданы уравнения движения точки в плоскости Определить уравнение траектории точки и построить ее на плоскости xOy . Найти координаты точки в момент времени и обозначить эту точку на траектории буквой М. Найти проекции и модули векторов скорости и

Добавлена: 04.05.2026
Обновлена: 04.05.2026
Предмет: Теория вероятностей
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Дифференциальные уравнения

Заданы уравнения движения точки в плоскости Определить уравнение траектории точки и построить ее на плоскости xOy . Найти координаты точки в момент времени и обозначить эту точку на траектории буквой М. Найти проекции и модули векторов скорости и

Условие:

Заданы уравнения движения точки в плоскости $x O y$ $

\begin{array}{c}\nx=2 \mathrm{t} \mathrm{~cm} ; \\ y=-3 \mathrm{t}^{2}+4 \mathrm{~cm} ; \\ t_{l}=1 \quad \mathrm{c} \end{array}

Определить уравнение траектории точки и построить ее на плоскости xOy .
Найти координаты точки $x_{1}, y_{1}$ в момент времени $t_{1}$ и обозначить эту точку на траектории буквой М.
Найти проекции и модули векторов скорости $\vec{V}$ и ускорения точки $\vec{a}$ в момент времени $\mathrm{t}_{1}$ .
Построить в точке М векторы скорости $\vec{V}$ и ускорения точки $\vec{a}$ , используя удобный для изображения масштаб величин.
Разложить полученный вектор ускорения $\vec{a}$ на векторы касательного $\vec{a}_{\tau}$ и нормального $\vec{a}_{n}$ ускорений точки М. Сделать вывод о темпе ее движения (ускоренное или замедленное).
Аналитически найти величины касательного и нормального ускорений точки M, а также радиус кривизны траектории $\rho$ в данной точке.

Решение:

Шаг 1: Определение уравнения траектории точки

У нас есть уравнения движения точки:

x = 2t \quad \text{(1)}

y = -3t^2 + 4 \quad \text{(2)}

Чтобы найти уравнение траектории, выразим $t$ из уравнения (1):

t = \frac{x}{2}

Теперь подставим это значение $t$ в уравнение (2):

y = -3\left(\frac{x}{2}\right)^2 + 4

y = -3\left(\frac{x^2}{4}\right) + 4

y = -\frac{3}{4}x^2 + 4

Это уравнение параболы, открытой вниз.

Шаг 2: Найти координаты точки в момент времени $t_1 = 1$

Подставим $t_1 = 1$ в уравнения (1) и (2):

x_1 = 2 \cdot 1 = 2 \quad \text{(3)}

y_1 = -3 \cdot (1)^2 + 4 = -3 + 4 = 1 \quad \text{(4)}

...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое из следующих утверждений верно относительно касательного ускорения $ a_{\tau} $ и нормального ускорения $ a_n $ для данной задачи в момент времени $ t_1 $?

Касательное ускорение $a_{\tau}$ отлично от нуля, а нормальное ускорение $a_n$ равно нулю.