31 - 40. Найти: a) ( d y ); б) приближённое значение заданной величины с помощью дифференциала. 34. a) ( y=x cdot rcsin x+sqrt{1-x^{2}} ) б) ( operatorname{tg} 136^{circ} ).

Для решения задачи 34, начнем с пункта а) и найдем дифференциал $dy$ функции $y = x \...

Функция состоит из двух частей, поэтому мы будем использовать правило производной для произведения и правило производной для сложной функции.

1. Первая часть: $u = x$ и $v = \arcsin x$

   • $u = 1$
   • $v = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

   По правилу произведения:

   $$(uv) = uv + uv = 1 \cdot \arcsin x + x \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = \arcsin x + \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$$

2. Вторая часть: $\sqrt{1 - x^2}$

   • Используем правило производной для корня:
     $$\left( \sqrt{1 - x^2} \right) = \frac{1}{2\sqrt{1 - x^2}} \cdot (-2x) = -\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$$

Теперь объединим обе части:

Теперь, когда мы знаем производную, можем найти дифференциал:

Для нахождения приближенного значения функции $y$ в некоторой точке $x_0$ с использованием дифференциала, используем формулу:

Допустим, мы хотим найти приближенное значение в точке $x_0 = 0.5$ и $dx = 0.1$.

1. Находим $y(0.5)$:

   $$y(0.5) = 0.5 \cdot \arcsin(0.5) + \sqrt{1 - (0.5)^2} = 0.5 \cdot \frac{\pi}{6} + \sqrt{0.75} = \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2}$$

2. Находим $dy$:

   $$dy = \arcsin(0.5) \cdot 0.1 = \frac{\pi}{6} \cdot 0.1 = \frac{\pi}{60}$$

3. Приближенное значение:

   $$y(0.6) \approx y(0.5) + dy = \left( \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2} \right) + \frac{\pi}{60}$$

Теперь перейдем к пункту б) и найдем $\tan 136^\circ$.

Для нахождения $\tan 136^\circ$ используем тригонометрические свойства:

Таким образом:

Теперь, если нам нужно приближенное значение $\tan(44^\circ)$, мы можем использовать таблицы или калькулятор. Приблизительно:

а) $dy = \arcsin x \cdot dx$

б) $\tan 136^\circ \approx -0.9657$