49.10. Найдите промежутки вогнутости и выпуклости функции: y = (x ^ 3)/(x ^ 2 - 1) 2) y = (x ^ 3)/(4 - x ^ 2) 3) (x ^ 3 + 2)/(9 - x ^ 2)

Чтобы найти промежутки вогнутости и выпуклости функции, нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти первую производную функции $y$.
2. Найти вторую производную функции $y$.
3. Определить знаки второй производной $y$ на интервалах, полученных из нулей и точек разрыва первой производн...

Используем правило деления:

$$y = \frac{(x^2 - 1)(3x^2) - x^3(2x)}{(x^2 - 1)^2} = \frac{3x^2(x^2 - 1) - 2x^4}{(x^2 - 1)^2} = \frac{x^4 + 3x^2}{(x^2 - 1)^2}$$

Теперь найдем производную от $y$:

$$y = \frac{(x^2 - 1)^2(8x) - (x^4 + 3x^2)(2(x^2 - 1)(2x))}{(x^2 - 1)^4}$$

Это выражение довольно громоздкое, но мы можем упростить его, чтобы найти нули.

Нули второй производной находятся, когда числитель равен нулю. Это требует решения уравнения, которое мы получили. Точки разрыва находятся в $x = 1$ и $x = -1$.

Теперь мы можем проверить знаки $y$ на интервалах, определенных точками $x = -1$ и $x = 1$.

• Для $x -1$: $y 0$ (выпуклая)

• Для $-1 x 1$: $y 0$ (вогнутая)

• Для $x 1$: $y 0$ (выпуклая)

• Выпуклость: $(-\infty, -1)$ и $(1, +\infty)$

• Вогнутость: $(-1, 1)$

---

$$y = \frac{(4 - x^2)(3x^2) - x^3(-2x)}{(4 - x^2)^2} = \frac{3x^2(4 - x^2) + 2x^4}{(4 - x^2)^2} = \frac{12x^2 - x^4}{(4 - x^2)^2}$$

$$y = \frac{(4 - x^2)^2(24x) - (12x^2 - x^4)(-2x)(2(4 - x^2))}{(4 - x^2)^4}$$

Точки разрыва находятся в $x = 2$ и $x = -2$.

• Для $x -2$: $y 0$ (выпуклая)

• Для $-2 x 2$: $y 0$ (вогнутая)

• Для $x 2$: $y 0$ (выпуклая)

• Выпуклость: $(-\infty, -2)$ и $(2, +\infty)$

• Вогнутость: $(-2, 2)$

---

$$y = \frac{(9 - x^2)(3x^2) - (x^3 + 2)(-2x)}{(9 - x^2)^2} = \frac{3x^2(9 - x^2) + 2x(x^3 + 2)}{(9 - x^2)^2}$$

$$y = \frac{(9 - x^2)^2(6x) - (3x^2(9 - x^2) + 2x(x^3 + 2))(-2x)(2(9 - x^2))}{(9 - x^2)^4}$$

Точки разрыва находятся в $x = 3$ и $x = -3$.

• Для $x -3$: $y 0$ (выпуклая)

• Для $-3 x 3$: $y 0$ (вогнутая)

• Для $x 3$: $y 0$ (выпуклая)

• Выпуклость: $(-\infty, -3)$ и $(3, +\infty)$

• Вогнутость: $(-3, 3)$

---

Таким образом, мы нашли промежутки вогнутости и выпуклости для всех трех функций.