5. Найдите отношения ρ−1,ρρ,ρ−1ρ−1 для бинарного отношения xρy⇔2x=3y, определенного на множестве Z целых чисел.

Для решения задачи сначала определим бинарное отношение $\rho$ на множестве целых чисел $Z$. Дано отношение:

$ x \rho y \i...

Обратное отношение $\rho^{-1}$ определяется как:

То есть, мы должны поменять местами $x$ и $y$ в исходном определении:

Теперь выразим $x$ через $y$:

Таким образом, обратное отношение $\rho^{-1}$ можно записать как:

Произведение отношений $\rho \circ \rho$ определяется как:

Сначала найдем $y$ из $x \rho y$:

Теперь подставим $y$ в $y \rho z$:

Таким образом, произведение $\rho \circ \rho$ можно записать как:

Аналогично, произведение $\rho^{-1} \circ \rho^{-1}$ определяется как:

Сначала найдем $y$ из $x \rho^{-1} y$:

Теперь подставим $y$ в $y \rho^{-1} z$:

Таким образом, произведение $\rho^{-1} \circ \rho^{-1}$ можно записать как:

Теперь мы имеем:

1. Обратное отношение $\rho^{-1}$: $x \rho^{-1} y \iff x = \frac{2}{3}y$.
2. Произведение $\rho \circ \rho$: $x \rho \circ \rho z \iff z = \frac{4}{9}x$.
3. Произведение $\rho^{-1} \circ \rho^{-1}$: $x \rho^{-1} \circ \rho^{-1} z \iff z = \frac{9}{4}x$.