а) Вычислить площадь, описываемую полярным радиусом спирали Архимеда при одном его обороте, если началу движения соответствует . б) Вычислить площадь фигуры, ограниченной вторым и третьим витками спирали и отрезком полярной оси.

Добавлена: 10.04.2026
Обновлена: 10.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Дифференциальная геометрия

а) Вычислить площадь, описываемую полярным радиусом спирали Архимеда при одном его обороте, если началу движения соответствует . б) Вычислить площадь фигуры, ограниченной вторым и третьим витками спирали и отрезком полярной оси.

Условие:

а) Вычислить площадь, описываемую полярным радиусом спирали Архимеда $\rho=a \varphi$ при одном его обороте, если началу движения соответствует $\varphi=0$ . б) Вычислить площадь фигуры, ограниченной вторым и третьим витками спирали и отрезком полярной оси.

Решение:

Решение задачи 2495

1. Дано

Нам дана спираль Архимеда, заданная в полярных координатах уравнением:

\rho = a \varphi

где

a

— положительный постоянный параметр, а

\varphi

— полярный угол.

2. Найти

а) Площадь $S_1$ , описываемую радиусом за один оборот ( $\varphi$ изменяется от $0$ до $2\pi$ ). б) Площадь $S_2$ , ограниченную вторым и третьим витками спирали и отрезком полярной оси.

3. Решение

Для вычисления площади $S$ , ограниченной полярной кривой $\rho = \rho(\varphi)$ и лучами $\varphi = \alpha$ и $\varphi = \beta$ , используется формула:

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какая формула используется для вычисления площади сектора, ограниченного полярной кривой $\rho = \rho(\varphi)$ и лучами $\varphi = \alpha$ и $\varphi = \beta$?

$S = \int_{\alpha}^{\beta} \rho^2 d\varphi$