а) ; 6) ; в) ; г) .

а) Уравнение: $x^{2} y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+y=8 x^{3}$.

1. Сначала решим однородное уравнение: $x^{2} y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+y=0$.
2. Предположим решение вида $y = x^m$. Подставим в однородное уравнение:
   • $y' = m x^{m-1}$
   • $y'' = m(m-1) x^{m-2}$
3. Подставляем в уравнение:
   • $x^2 m(m-1)x^{m-2} - x m x^{m-1} + x^m = 0$
   • Упрощаем: $m(m-1)x^m - m x^m + x^m = 0$
   • Получаем: $(m^2 - 2m + 1)x^m = 0$
   • Это уравнение имеет корни $m = 1$ (двойной корень).
4. Общее решение однородного уравнения:
   • $y_h = C_1 x + C_2 x \ln x$.
5. Теперь найдем частное решение $y_p$...