Разбор задачи

Найти формулу для данных выражений и доказать её

Условие:

\begin{array}{c} \frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)} \\ \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots+\frac{1}{2^{n}} \end{array}

Рассмотрим первое выражение:

Первое выражение:
$S_n = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)}$

Каждый член можно переписать в виде:

\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}

Это позволяет нам записать сумму как телескопическую:

S_n = \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)

При сложении всех этих дробей, большинство членов сократится:

S_n = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}

...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой метод является наиболее подходящим для нахождения формулы суммы ряда $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)}$?

Метод математической индукции

Метод телескопических сумм

Метод суммирования геометрической прогрессии