Для решения задачи необходимо проанализировать сходимость последовательности функций $f_{n}(x) = \frac{\sin^{2}(n x)}{n^{2}}$ к нулю относительно метрик $C^{0}$ и $C^{1}$.

1. Метрика $C^{0}$: Метрика $C^{0}$ определяет сходимость функций в смысле равномерной сходимости. Мы должны проверить, сходится ли последовательность $f_{n}(x)$ к нулю равномерно на отрезке $[0; \pi]$.

   Рассмотрим:

   $$|f_{n}(x)| = \left| \frac{\sin^{2}(n x)}{n^{2}} \right| \leq \frac{1}{n^{2}}$$
   Поскольку $\sin^{2}(n x)$ ограничена и принимает значения от 0 до 1, мы ви...