Бесконечная плоская плита толщиной равномерно заряжена по объему с плотностью и на ее границе нанесен поверхностный заряд так, чтобы суммарный заряд плиты был равен нулю. Найти потенциал и напряженность электрического поля Е.

Добавлена: 02.05.2026
Обновлена: 02.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Уравнения математической физики

Бесконечная плоская плита толщиной равномерно заряжена по объему с плотностью и на ее границе нанесен поверхностный заряд так, чтобы суммарный заряд плиты был равен нулю. Найти потенциал и напряженность электрического поля Е.

Условие:

Бесконечная плоская плита толщиной $a$ равномерно заряжена по объему с плотностью $\rho$ и на ее границе нанесен поверхностный заряд $\sigma$ так, чтобы суммарный заряд плиты был равен нулю. Найти потенциал $\varphi$ и напряженность электрического поля Е.

Решение:

Заметим, что если взять заряд по единичной площади, то объёмный заряд даёт заряд ρa, а поверхностные – суммарно 2σ. Условие нулевого суммарного заряда выглядит так:
ρa + 2σ = 0 ⇒ σ = –(ρa)/2.
Таким образом, на каждой границе (верхней и нижней) заряд равен –(ρa)/2.
Из симметрии задачи удобно ввести ось z, перпендикулярную пластине. Можно принять, что пластина занимает область –a/2 ≤ z ≤ a/2, а её поверхности находятся в z = ±a/2. При этом дальше будем считать, что потенциал выбирается так, что за пластиной (для z > a/2 и z < –a/2) он равен нулю.<br...