1. Главная
  2. Библиотека
  3. Высшая математика
  4. Дана функция , точка и вектор . Найти: градиент функции...
Разбор задачи

Дана функция , точка и вектор . Найти: градиент функции в точке ; производную функции в точке A по направлению вектора .

  • Предмет: Высшая математика
  • Автор: Кэмп
  • #Математический анализ
  • #Дифференциальные уравнения
Дана функция , точка и вектор . Найти: градиент функции в точке ; производную функции в точке A по направлению вектора .

Условие:

Дана функция z=arcsin⁡(x2y)z=\arcsin \left(\frac{x^{2}}{y}\right), точка A(1;2)\mathrm{A}(1 ; 2) и вектор a⃗=5i⃗−12j⃗\vec{a}=5 \vec{i}-12 \vec{j}. Найти: градиент функции zz в точке A\mathrm{A}; производную функции zz в точке A по направлению вектора a⃗\vec{a}.

Решение:

Шаг 1: Найти градиент функции zz

Функция задана как:

z=arcsin⁡(x2y) z = \arcsin\left(\frac{x^2}{y}\right)

Для нахождения градиента функции zz, нам нужно вычислить частные производные ∂z∂x\frac{\partial z}{\partial x} и ∂z∂y\frac{\partial z}{\partial y}.

Частная производная ∂z∂x\frac{\partial z}{\partial x}

Используем правило дифференцирования сложной функции:

∂z∂x=11−(x2y)2⋅∂∂x(x2y) \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{\sqrt{1 - \left(\frac{x^2}{y}\right)^2}} \cdot \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x^2}{y}\right)
∂∂x(x2y)=2xy \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x^2}{y}\right) = \frac{2x}{y}

Таким образом,

∂z∂x=11−(x2y)2⋅2xy \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{\sqrt{1 - \left(\frac{x^2}{y}\right)^2}} \cdot \frac{2x}{y}

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое из следующих утверждений верно относительно градиента функции?

Что нужно знать по теме:

Что нужно знать по теме

Алгоритм решения

Топ 3 ошибок

Что спросит препод

Похожие задачи

Похожие задачи

Не нашел нужную задачу?Воспользуйся поиском

AI помощники

Выбери предмет

E
S
А
Б
В
Г
Д
Е
Ж
З
И
К
Л
М
Н
О
П
Р
С
Т
У
Ф
Х
Ц
Ч
Э
Я