Дана функция , найти: полный дифференциал функции ; частные производные второго порядка .

Добавлена: 14.04.2026
Обновлена: 14.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Дифференциальные уравнения

Дана функция , найти: полный дифференциал функции ; частные производные второго порядка .

Условие:

Дана функция $z=f(x, y)$ , найти: полный дифференциал функции $d z$ ; частные производные второго порядка $\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}, \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}, \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}, \frac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x}$ .

z=\frac{x y}{x+y} .

Решение:

Дано

Функция:

z = \frac{xy}{x+y}

Найти

Полный дифференциал функции $dz$ .
Частные производные второго порядка: $\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}$ , $\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}$ , $\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ , $\frac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x}$ .

Решение

Шаг 1: Найдем частные производные первого порядка.

Частная производная по $x$ :

Используем правило частного для производной:

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое из следующих утверждений верно относительно смешанных частных производных второго порядка для функции $z = f(x, y)$?

Смешанные частные производные второго порядка всегда равны нулю.

Смешанные частные производные второго порядка $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ и $\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x}$ равны, если функция и её частные производные непрерывны в рассматриваемой области.