Дана функция . Показать, что .

Добавлена: 25.05.2026
Обновлена: 25.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Дифференциальные уравнения

Условие:

Дана функция $z=f(x ; y)$ . Показать, что

F\left(x ; y ; z ; \frac{\partial z}{\partial x} ; \frac{\partial z}{\partial y} ; \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} ; \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} ; \frac{\partial^{2}}{\partial x \partial y}\right) \equiv 0 .

z=x e^{y / x} ; \quad F=x^{2} \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+2 x y \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}+y^{2} \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}

Решение:

1. Дано

Дана функция:

z = x e^{y/x}

Требуется проверить, что выражение

F

равно нулю:

F = x^{2} \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+2 x y \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}+y^{2} \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} \equiv 0

2. Найти

Показать, что $F \equiv 0$ .

3. Решение

Для решения задачи нам необходимо последовательно вычислить частные производные первого и второго порядка функции $z$ по $x$ и $y$ , а затем подставить их в выражение $F$ .

Шаг 1: Вычисление частных производных первого порядка

Производная по $x$ ( $\frac{\partial z}{\partial x}$ ): При...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое свойство частных производных используется для упрощения вычислений в выражении $F = x^{2} \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+2 x y \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}+y^{2} \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}$ при проверке тождества $F \equiv 0$?

Симметричность смешанных производных второго порядка, то есть $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x}$ .