Дана последовательность является пределом данной последовательности. Найти наименьшее , удовлетворяющее условию \( n {N}: n>N a_{n}-A

Добавлена: 28.04.2026
Обновлена: 28.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Теория пределов случайных величин

$Дана последовательность является пределом данной последовательности. Найти наименьшее , удовлетворяющее условию \( n {N}: n>N a_{n}-A$

Условие:

Дана последовательность $a_{n}=\frac{3 n+1}{4 n+3} . A \in \mathbb{R}$ является пределом данной последовательности. Найти наименьшее $N \in \mathbb{N}$ , удовлетворяющее условию $\forall n \in \mathbb{N}: n>N \Rightarrow\left|a_{n}-A\right|<\varepsilon$ при $\varepsilon=0.02$ .

Решение:

Рассмотрим последовательность a_n = (3n + 1)/(4n + 3).

Шаг 1. Найдём предел последовательности. При стремлении n к бесконечности доминируют члены с n:
\tA = lim (n→∞) (3n + 1)/(4n + 3) = 3/4.

Шаг 2. Выразим разность |a_n – A|:
|a_n – 3/4| = |(3n + 1)/(4n + 3) – 3/4|.
Приведём к общему знаменателю:
= |( (3n + 1)·4 – 3(4n + 3) ) / (4(4n + 3))| = |(12n + 4 – 12n – 9) / (4(4n + 3))| = |–5/(4(4n + 3))| = 5/(4(4n + 3)).

Шаг 3. Запишем условие неравенства для ε = 0.02:
5/(4(4n + 3)) < 0.02.
Чтобы упростить, домножим обе части неравенства на 4(4n + 3):
5 < 0.02 · 4(4n + 3).

Упростим правую часть:
0.02 · 4 = 0.08, то есть неравенство становится:
5 < 0.08 (4n + 3).

Шаг 4. Решим полученное неравенство:
5 < 0.32 n + 0.24.
Вычтем 0.24:
5 – 0.24 < 0.32 n, то есть:
4.76 < 0.32 n.
Разделим на 0.32:
\tn > 4.76/0.32 ≈ 14.875.

Шаг 5. Так как n принадлежит натуральным числам, то минимум, удовлетворяющий условию, будет n = 15. Однако по условию требуется найти наименьшее число N ∈ ℕ такое, что для всех n > N неравенство выполняется. Если мы возьмём N = 14, то при любом n > 14 (то есть начиная с n = 15) условие |a_...