Дано векторное поле а и плоскость G, пересекающая координатные плос кости по замкнутой ломаной КLМК, где К, L, М точки пересечения плоскости с координатными осями Ох, Оу и Оz соответственно. Найти а) поток векторного поля а через часть S плоскости G,

Для решения задачи о нахождении потока векторного поля через часть плоскости, вырезанной координатными плоскостями, следуем следующим шагам:

Шаг 1: Определение плоскости G и её нормали

Плоскость задана уравнением:
\[ G: x - 3y + 2z = -6 \]

Для нахождения нормали к плоскости, запишем уравнение в виде:
\[ x - 3y + 2z + 6 = 0 \]

Коэффициенты при \(x\), \(y\) и \(z\) дают вектор нормали:
\[ \mathbf{n} = (1, -3, 2) \]

Шаг 2: Оп...

Нормаль образует острый угол с положительным направлением оси \(Oz\), если её проекция на ось \(z\) положительна. Проекция нормали на ось \(z\) равна 2, что положительно. Таким образом, нормаль направлена правильно. Нам нужно найти точки пересечения плоскости \(G\) с координатными осями: 1. : \(y = 0\), \(z = 0\) \[ x = -6 \quad \Rightarrow \quad K(-6, 0, 0) \] 2. : \(x = 0\), \(z = 0\) \[ -3y = -6 \quad \Rightarrow \quad y = 2 \quad \Rightarrow \quad L(0, 2, 0) \] 3. : \(x = 0\), \(y = 0\) \[ 2z = -6 \quad \Rightarrow \quad z = -3 \quad \Rightarrow \quad M(0, 0, -3) \] Векторное поле задано как: \[ \mathbf{a} = (3y + 2z - 2x, 0, 1 + x - z) \] Теперь найдем поток через поверхность \(S\) плоскости \(G\): \[ \Phi = \iint_S \mathbf{a} \cdot \mathbf{n} \, dS \] Нормаль \(\mathbf{n}\) уже известна: \[ \mathbf{n} = (1, -3, 2) \] Теперь найдем скалярное произведение: \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{n} = (3y + 2z - 2x, 0, 1 + x - z) \cdot (1, -3, 2) \] \[ = (3y + 2z - 2x) \cdot 1 + 0 \cdot (-3) + (1 + x - z) \cdot 2 \] \[ = 3y + 2z - 2x + 2 + 2x - 2z = 3y + 2 - z \] Плоскость \(G\) можно выразить через \(y\) и \(z\): \[ x = 3y + 2z + 6 \] Для \(y\) от 0 до 2, и для \(z\) от 0 до \(-3\) (так как мы рассматриваем часть плоскости в первом квадранте). Теперь вычислим поток: \[ \Phi = \iint_S (3y + 2 - z) \, dS \] Площадь \(S\) можно выразить через \(y\) и \(z\): \[ dS = dy \, dz \] Таким образом, интеграл будет выглядеть так: \[ \Phi = \int0^{-3} (3y + 2 - z) \, dz \, dy \] 1. Сначала вычислим внутренний интеграл по \(z\): \[ \int0^{-3} \] \[ = (3y + 2)(-3) - \frac{(-3)^2}{2} = -9y - 6 - \frac{9}{2} = -9y - \frac{21}{2} \] 2. Теперь вычислим внешний интеграл по \(y\): \[ \Phi = \int_0^2 \left( -9y - \frac{21}{2} \right) dy \] \[ = \left[ -\frac{9y^2}{2} - \frac{21y}{2} \right]_0^2 = \left( -\frac{9 \cdot 4}{2} - \frac{21 \cdot 2}{2} \right) = -18 - 21 = -39 \] Таким образом, поток векторного поля через часть плоскости \(G\) равен: \[ \Phi = -39 \]