Даны четыре произвольных целых числа x1, x2, x3 и x4, ни одно из которых не четно и не кратно пяти. Докажите, что некоторое последовательное произведение этих целых чисел оканчивается цифрой 1. В последовательное произведение входит один, или два, или

1. Анализ условия

Числа $x_1, x_2, x_3, x_4$ нечетные и не делятся на $5$. Это означает, что при делении на $10$ каждое из них может давать только следующие остатки: $x_i \equiv 1, 3, 7, 9 \pmod{10}$.

Заметим, что произведение оканчивается на $1$, если оно сравнимо с $1$ по модулю $10$. Рассмотрим последовательные произведения: $P_1 = x_1$ $P_2 = x_1 \cdot x_2$ $P_3 = x_1 \cdot x_2 \cdot x_3$ $P_4 = x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdot x_4$ $P_{2,3} = x_2 \cdot x_3$ $P_{2,4} = x_2 \cdot x_3 \cdot x_4$ $P_{3,4} = x_3 \cdot x_4$ $P_4 = x_4$

2. Решение

Рассмотрим остатки чисел $x_i$ по модулю...