Даны два вектора и . При этом . Угол между векторами равен . Вектора и соответственно равны . Найти: косинус угла между векторами и ; площаль параллелограмма, построенного на векторах и .

Добавлена: 11.05.2026
Обновлена: 11.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Аналитическая геометрия
#Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Даны два вектора и . При этом . Угол между векторами равен . Вектора и соответственно равны . Найти: косинус угла между векторами и ; площаль параллелограмма, построенного на векторах и .

Условие:

Даны два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ . При этом $|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=3$ . Угол между векторами равен $\pi / 3$ . Вектора $\vec{c}$ и $\vec{d}$ соответственно равны $\vec{c}=-\vec{a}+2 \vec{b}, \vec{d}=2 \vec{a}+3 \vec{b}$ . Найти: косинус угла между векторами $\vec{c}$ и $\vec{d}$ ; площаль параллелограмма, построенного на векторах $\vec{c}$ и $\vec{d}$ .

Решение:

Найдем векторы $\vec{c}$ и $\vec{d}$ :
- $\vec{c} = -\vec{a} + 2\vec{b}$
- $\vec{d} = 2\vec{a} + 3\vec{b}$
Найдем скалярное произведение $\vec{c}$ и $\vec{d}$ : Скалярное произведение двух векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$ можно выразить через их длины и угол между ними:
$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos(\theta)$
Для векторов $\vec{c}$ и $\vec{d}$ :
$\vec{c} \cdot \vec{d} = (-\vec{a} + 2\vec{b}) \cdot (2\vec{a} + 3\vec{b})$
Раскроем скобки:
$\vec{c} \cdot \vec{d} = -\vec{a} \cdot (2\vec{a}) + (-\vec{a}) \cdot (3\vec{b}) + (2\vec{b}) \cdot (2\vec{a}) + (2\vec{b}) \cdot (3\vec{b})$
Подсчитаем каждое из слагаемых:
- $-\vec{a} \cdot (2\vec{a}) = -2|\vec{a}|^2 = -2$
- $-\vec{a} \cdot (3\vec{b}) = -3|\vec{a}||\vec{b}|\cos(\pi/3) = -3 \cdot 1 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = -4.5$
- $(2\vec{b}) \cdot (2\vec{a}) = 4|\vec{b}||\vec{a}|\cos(\pi/3) = 4 \cdot 3 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = 6$
- $(2\vec{b}) \cdot (3\vec{b}) = 6|\vec{b}|^2 = 6 \cdot 9 = 54$
Теперь сложим все слагаемые:
$\vec{c} \cdot \vec{d} = -2 - 4.5 + 6 + 54 = 53.5$
...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Как определяется скалярное произведение двух векторов, заданных через другие векторы, если известны их длины и угол между ними?

Скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат векторов.

Скалярное произведение равно произведению длин векторов на косинус угла между ними, а также может быть вычислено через раскрытие скобок и использование свойств скалярного произведения исходных векторов.

Скалярное произведение равно произведению длин векторов на синус угла между ними.