Даны функция и точки . Вычислить: а) точные значения и ; б) полный дифференциал в точке ; в) приближенное значение функции в точке , заменив приращение функции дифференциалом при переходе от точки к точке ; г) абсолютную и относительную ошибки.

Добавлена: 08.05.2026
Обновлена: 08.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Теория функций действительного переменного

Даны функция и точки . Вычислить: а) точные значения и ; б) полный дифференциал в точке ; в) приближенное значение функции в точке , заменив приращение функции дифференциалом при переходе от точки к точке ; г) абсолютную и относительную ошибки.

Условие:

Даны функция $z=f(x, y)$ и точки $A\left(x_{A} ; y_{A}\right), B\left(x_{B} ; y_{B}\right)$ . Вычислить: а) точные значения $z_{A}=f\left(x_{A} ; y_{A}\right)$ и $z_{B}=f\left(x_{B} ; y_{B}\right)$ ; б) полный дифференциал в точке $A$ ; в) приближенное значение $\widetilde{z}_{B}$ функции $f(x, y)$ в точке $B$ , заменив приращение функции дифференциалом при переходе от точки $A$ к точке $B$ ; г) абсолютную и относительную ошибки.

z=f(x ; y)=x^{3}+x y+15 \ A(-4 ; 2) ; B(-3,9 ; 2,2)

Решение:

Вычислим точные значения $z_{A}$ и $z_{B}$ .

Функция задана как $z = f(x, y) = x^3 + xy + 15$ .

Для точки $A(-4, 2)$ :
$z_{A} = f(-4, 2) = (-4)^3 + (-4) \cdot 2 + 15$

$= -64 - 8 + 15 = -64 - 8 + 15 = -57$

Для точки $B(-3.9, 2.2)$ :
$z_{B} = f(-3.9, 2.2) = (-3.9)^3 + (-3.9) \cdot 2.2 + 15$

$= -59.319 + (-8.58) + 15 = -59.319 - 8.58 + 15 = -52.899$

Таким образом, мы получили:
$z_{A} = -57, \quad z_{B} \approx -52.899$
Вычислим полный дифференциал в точке $A$ .

Для этого найдем ч...