Разбор задачи

Действительные числа таковы, что Чему равно значение выражения

Условие:

Действительные числа $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ таковы, что $x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=6$

\text { и } \frac{1}{x_{2}+x_{3}+x_{4}}+\frac{2}{x_{1}+x_{3}+x_{4}}+\frac{3}{x_{1}+x_{2}+x_{4}}+\frac{4}{x_{1}+x_{2}+x_{3}}=15

Чему равно значение выражения

\frac{x_{1}}{x_{2}+x_{3}+x_{4}}+\frac{2 x_{2}}{x_{1}+x_{3}+x_{4}}+\frac{3 x_{3}}{x_{1}+x_{2}+x_{4}}+\frac{4 x_{4}}{x_{1}+x_{2}+x_{3}} ?

Давайте обозначим:

Теперь подставим эти выражения в уравнение:

\frac{1}{S_1} + \frac{2}{S_2} + \frac{3}{S_3} + \frac{4}{S_4} = 15

Это можно переписать как:

\frac{1}{6 - x_1} + \frac{2}{6 - x_2} + \frac{3}{6 - x_3} + \frac{4}{6 - x_4} = 15

Теперь мы хотим найти значение выражения:

\frac{x_1}{S_1} + \frac{2x_2}{S_2} + \frac{3x_3}{S_3} + \frac{4x_4}{S_4}

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое преобразование позволяет упростить выражение $\frac{x_i}{S-x_i}$ до вида, удобного для использования данного в условии уравнения?

Вычитание $1$ из каждого члена: $\frac{x_i}{S-x_i} - 1 = \frac{x_i - (S-x_i)}{S-x_i} = \frac{2x_i - S}{S-x_i}$

Прибавление $1$ к каждому члену: $\frac{x_i}{S-x_i} + 1 = \frac{x_i + (S-x_i)}{S-x_i} = \frac{S}{S-x_i}$

Умножение на $S$ : $\frac{x_i}{S-x_i} \cdot S = \frac{Sx_i}{S-x_i}$