Действительные числа и удовлетворяют неравенствам Найти наибольшее значение выражения и пару чисел , при котором оно достигается.

Добавлена: 13.04.2026
Обновлена: 13.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Теория оптимизации

Действительные числа и удовлетворяют неравенствам Найти наибольшее значение выражения и пару чисел , при котором оно достигается.

Условие:

Действительные числа $x$ и $y$ удовлетворяют неравенствам $

\begin{array}{l} 2 x^{2}+8 x+y+40 \leq 0 \\ 3 x^{2}+4 x+2 y+48 \geq 0 \end{array}

Найти наибольшее значение выражения

x^{2}+10 x+y+18 $

и пару чисел $(x, y)$ , при котором оно достигается.

Решение:

Решение задачи

1. Дано

Нам даны два неравенства, которым удовлетворяют действительные числа $x$ и $y$ :

$2 x^{2}+8 x+y+40 \leq 0$
$3 x^{2}+4 x+2 y+48 \geq 0$

2. Найти

Найти наибольшее значение выражения $F(x, y) = x^{2}+10 x+y+18$ и соответствующую пару $(x, y)$ .

3. Решение

Сначала выразим $y$ из каждого неравенства, чтобы определить область допустимых значений $(x, y)$ .

Из первого неравенства:

y \leq -2 x^{2}-8 x-40

Из второго неравенства:

2y \geq -3 x^{2}-4 x-48

y \geq -\frac{3}{2} x^{2}-2 x-24

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой метод используется для определения диапазона допустимых значений переменной x, при которых система неравенств имеет решение?

Нахождение корней дискриминанта каждого неравенства по отдельности.

Приравнивание верхней и нижней границ для y и решение полученного неравенства относительно x.

Построение графиков всех неравенств и поиск области их пересечения.

Что нужно знать по теме:

Что нужно знать по теме

Для системы неравенств с двумя переменными, чтобы найти область допустимых значений одной переменной (например, x), необходимо выразить другую переменную (y) через x в каждом неравенстве и затем определить интервал для y. После этого, для существования решений, нижняя граница для y должна быть меньше или равна верхней границе для y.
Квадратное неравенство $ax^2 + bx + c \leq 0$ (или $\geq 0$ ) решается путем нахождения корней квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c = 0$ и анализа знака параболы. Если $a > 0$ , парабола ветвями вверх, и неравенство $\leq 0$ выполняется между корнями.
Чтобы максимизировать выражение вида $F(x, y) = G(x) + y + C$ при условии $y \leq y_{max}(x)$ , необходимо выбрать $y = y_{max}(x)$ . Это преобразует задачу в максимизацию функции одной переменной $F(x) = G(x) + y_{max}(x) + C$ .
Для нахождения наибольшего значения квадратичной функции $f(x) = ax^2 + bx + c$ на заданном отрезке $[x_1, x_2]$ необходимо определить направление ветвей параболы (вверх при $a>0$ , вниз при $a<0$ ) и найти координату вершины $x_v = -b/(2a)$ .
Если вершина параболы находится вне отрезка, то наибольшее (или наименьшее) значение функции на отрезке достигается на одном из его концов. Если вершина находится внутри отрезка, и ветви параболы направлены вниз, то максимум достигается в вершине.