Условие:
. Какие из указанных ниже операторов линейны:
а) Аf = af; б) Af = f 2
; в) Af = ∂f/∂x; г) Af = 1/f ;
д) Af = 3x2
∂2
f/∂x
2
; е) А f = f ½ ?
Решение:
Рассмотрим по шагам, что такое линейный оператор.
Оператор A называется линейным, если для любых функций f и g из его области определения и любых скаляров α и β выполняется условие:
A(αf + βg) = αA(f) + βA(g).
Проверим данное условие для каждого оператора.
──────────────────────────────
- Оператор (а): A(f) = af, где a – константа.
Рассмотрим A(αf + βg): A(αf + βg) = a(αf + βg) = α af + β ag = α A(f) + β A(g).
Условие выполняется, значит оператор (а) линейный.
────────────────────────────── 2) Оператор (б): A(f) = f².
Рассмотрим A(αf + βg): A(αf + βg) = (αf + βg)² = α²f²...