Для функции напишите интегральные суммы, соответствующие разбиениям и при и при Найдите пределы получившихся интегральных сумм при . В ответе приведите разделенные пробелом полученные числа, в виде десятичных дробей, округленных до трех знаков после

Добавлена: 06.05.2026
Обновлена: 06.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Теория пределов случайных величин

Для функции напишите интегральные суммы, соответствующие разбиениям и при и при Найдите пределы получившихся интегральных сумм при . В ответе приведите разделенные пробелом полученные числа, в виде десятичных дробей, округленных до трех знаков после

Условие:

Для функции $f(x)=x$ напишите интегральные суммы, соответствующие разбиениям

$x_{0}=0$ и $\xi_{k}=x_{k}=\frac{k}{n}$ при $k=1,2, \ldots, n$
$x_{0}=0$ и $\xi_{k}=x_{k}=2^{k-n}$ при $k=1,2, \ldots, n$

Найдите пределы получившихся интегральных сумм при $n \rightarrow \infty$ . В ответе приведите разделенные пробелом полученные числа, в виде десятичных дробей, округленных до трех знаков после запятой. Чем объясняется получившийся результат?

Решение:

Для функции $f(x) = x$ мы будем находить интегральные суммы для двух различных разбиений.

1. Первое разбиение: $x_{0}=0$ и $\xi_{k}=x_{k}=\frac{k}{n}$

Разобьем отрезок ([0, 1]) на $n$ равных частей. Длина каждого подотрезка будет равна:

\Delta x = \frac{1 - 0}{n} = \frac{1}{n}

Точки разбиения будут:

x_k = \frac{k}{n}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots, n

Теперь вычислим интегральную сумму:

S_n = \sum_{k=1}^{n} f(\xi_k) \Delta x = \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right) \cdot \frac{1}{n} = \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n} \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^{n} k

Сумма первых $n$ натуральных чисел равна:

\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой из следующих принципов является ключевым для понимания того, почему пределы интегральных сумм для функции $f(x) = x$ на отрезке $[0, 1]$ могут отличаться в зависимости от способа разбиения отрезка и выбора промежуточных точек?

Принцип сохранения энергии.

Определение определенного интеграла как предела интегральных сумм Римана, где выбор разбиения и промежуточных точек должен удовлетворять условию измельчения разбиения.

Закон больших чисел.