1. Главная
  2. Библиотека
  3. Высшая математика
  4. Для функции u = yln(1 + x²) + arctg z найти градиент и...
Разбор задачи

Для функции u = yln(1 + x²) + arctg z найти градиент и производную в точке А по направлению вектора {s} = {AB}: A(0; 1; 1), B(-1; -1; 3).

  • Предмет: Высшая математика
  • Автор: Кэмп
  • #Математический анализ
  • #Дифференциальные уравнения
Для функции u = yln(1 + x²) + arctg z найти градиент и производную в точке А по направлению вектора {s} = {AB}: A(0; 1; 1), B(-1; -1; 3).

Условие:

Для функции u = yln(1 + x²) + arctg z найти градиент и производную в точке А по направлению вектора \vec{s} = \overrightarrow{AB}: A(0; 1; 1), B(-1; -1; 3).

Решение:

Дано:

  • Функция: u(x,y,z)=yln⁡(1+x2)+arctan⁡zu(x, y, z) = y \ln(1 + x^2) + \arctan z
  • Точка A(0;1;1)A(0; 1; 1)
  • Точка B(−1;−1;3)B(-1; -1; 3)
  • Вектор направления: s⃗=AB→\vec{s} = \overrightarrow{AB}

Найти:

  1. Градиент функции grad u\text{grad } u в точке AA.
  2. Производную по направлению вектора s⃗\vec{s} в точке AA.

Решение:

1. Находим градиент функции

Градиент функции uu определяется как вектор из частных производных:

grad u=(∂u∂x;∂u∂y;∂u∂z) \text{grad } u = \left( \frac{\partial u}{\partial x}; \frac{\partial u}{\partial y}; \frac{\partial u}{\partial z} \right)

Вычислим частные производные:

  • ∂u∂x=y⋅11+x2⋅2x=2xy1+x2\frac{\partial u}{\partial x} = y \cdot \frac{1}{1 + x^2} \cdot 2x = \frac{2xy}{1 + x^2}...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Что представляет собой градиент функции в заданной точке?

Что нужно знать по теме:

Что нужно знать по теме

Алгоритм решения

Топ 3 ошибок

Что спросит препод

Похожие задачи

Похожие задачи

Не нашел нужную задачу?Воспользуйся поиском

AI помощники

Выбери предмет

E
S
А
Б
В
Г
Д
Е
Ж
З
И
К
Л
М
Н
О
П
Р
С
Т
У
Ф
Х
Ц
Ч
Э
Я