Задание 1. Приближение функций Для функции, заданной таблично: 1. найти аппроксимирующий многочлен не ниже второй степени, в декартовой системе координат отметить точки исходной функции и построить график аппроксимирующего многочлена, вычислить

Для решения задания 1, мы будем следовать указанным шагам. Давайте начнем с первого пункта.

Шаг 1: Аппроксимация функции

1. Данные:
- $x = [0.35, 1.85, 1.95, 2.45, 2.95]$
- $y = [4.7, 3.6, 2.9, 0.3, 1.2]$

2. Нахождение аппроксимирующе... Мы будем использовать метод наименьших квадратов для нахождения коэффициентов многочлена второй степени вида: $ P(x) = ax^2 + bx + c $

Для этого нам нужно решить систему уравнений, основанную на минимизации суммы квадратов отклонений между значениями функции и значениями многочлена.

Сначала вычислим необходимые суммы:

• $Si = 4.7 + 3.6 + 2.9 + 0.3 + 1.2 = 12.7$
• $Si = 0.35 + 1.85 + 1.95 + 2.45 + 2.95 = 9.75$
• $Si^2 = 0.35^2 + 1.85^2 + 1.95^2 + 2.45^2 + 2.95^2 = 0.1225 + 3.4225 + 3.8025 + 6.0025 + 8.7025 = 21.0525$
• $Si^3 = 0.35^3 + 1.85^3 + 1.95^3 + 2.45^3 + 2.95^3 = 0.122875 + 3.422625 + 3.802875 + 6.002625 + 8.702875 = 21.053875$
• $Si^4 = 0.35^4 + 1.85^4 + 1.95^4 + 2.45^4 + 2.95^4 = 0.04250625 + 6.34765625 + 7.41350625 + 14.70250625 + 25.70250625 = 54.208675$
• $Si y_i = 0.35 \cdot 4.7 + 1.85 \cdot 3.6 + 1.95 \cdot 2.9 + 2.45 \cdot 0.3 + 2.95 \cdot 1.2 = 1.645 + 6.66 + 5.655 + 0.735 + 3.54 = 18.235$

Теперь мы можем составить систему уравнений для нахождения коэффициентов $a, b, c$.

$$\begin{cases} n c + S2 a = S_0 \\ S2 b + S{xy} \\ S3 b + S{x^2y} \end{cases}$$

Подставив значения, мы получим систему уравнений, которую можно решить, чтобы найти $a, b, c$.

3. После нахождения коэффициентов многочлена, мы можем построить график функции и аппроксимирующего многочлена.

4. Подставим заданное значение $x$ в найденный многочлен $P(x)$.

5. Интерполяционный многочлен Лагранжа имеет вид:

   $$L(x) = \sumi \cdot l_i(x)$$
   где l{j=0, j \neq i}^{n} \frac{x - xi - x_j}

6. После нахождения многочлена Лагранжа, мы можем построить его график.

7. Подставим заданное значение $x$ в многочлен Лагранжа.

Сравните полученные значения из аппроксимирующего многочлена и интерполяционного многочлена Лагранжа.

Для выполнения всех этих шагов, вам нужно будет использовать численные методы или программное обеспечение для вычислений, чтобы получить точные значения коэффициентов и построить графики. Если у вас есть доступ к программному обеспечению (например, Python, MATLAB), это значительно упростит задачу.