1. Главная
  2. Библиотека
  3. Высшая математика
  4. Для кривой, заданной уравнением: , найти: Уравнение кас...
Разбор задачи

Для кривой, заданной уравнением: , найти: Уравнение касательной, бинормали и главной нормали (в произвольной точке кривой). Уравнения нормальной, соприкасающейся и спрямляющей плоскостей. Векторы сопровождающего трехгранника Френе. Кривизну и кручение

  • Предмет: Высшая математика
  • Автор: Кэмп
  • #Математический анализ
  • #Дифференциальная геометрия
Для кривой, заданной уравнением: , найти: Уравнение касательной, бинормали и главной нормали (в произвольной точке кривой). Уравнения нормальной, соприкасающейся и спрямляющей плоскостей. Векторы сопровождающего трехгранника Френе. Кривизну и кручение

Условие:

Для кривой, заданной уравнением:

r⃗=r⃗(t)\vec{r} = \vec{r}(t),

найти:

  1. Уравнение касательной, бинормали и главной нормали (в произвольной точке кривой).
  2. Уравнения нормальной, соприкасающейся и спрямляющей плоскостей.
  3. Векторы сопровождающего трехгранника Френе.
  4. Кривизну и кручение кривой.
  5. Уравнение кривой, отнесенной к натуральному параметру.
  6. Натуральные уравнения кривой.
  7. Уравнения линии, по которой главные нормали кривой пересекают плоскость XOZ.
  8. Уравнения линии, полученной путем откладывания на касательных к данной кривой отрезка постоянной длины (h).
  9. Угол, образованный касательной с осью OZ.

Координаты радиус-вектора r⃗=r⃗(t)\vec{r} = \vec{r}(t):

x(t)=2tx(t) = 2t y(t)=3sin⁡(t/2)y(t) = 3 \sin(t/2) z(t)=3cos⁡(t/2)z(t) = 3 \cos(t/2)

Решение:

\nx(t)=2t,y(t)=3sin⁡(t2),z(t)=3cos⁡(t2). \begin{align*}\nx(t) &= 2t, \\ y(t) &= 3 \sin\left(\frac{t}{2}\right), \\ z(t) &= 3 \cos\left(\frac{t}{2}\right). \end{align*}

1. Уравнение касательной, бинормали и главной нормали в точке кривой.

Сначала найдем производные по времени для векторов:

r(t)=(x(t),y(t),z(t))=(2t,3sin⁡(t2),3cos⁡(t2)),r′(t)=(2,32cos⁡(t2),−32sin⁡(t2)). \begin{align*} \mathbf{r}(t) &= (x(t), y(t), z(t)) = (2t, 3 \sin\left(\frac{t}{2}\right), 3 \cos\left(\frac{t}{2}\right)), \\ \mathbf{r}'(t) &= \left(2, \frac{3}{2} \cos\left(\frac{t}{2}\right), -\frac{3}{2} \sin\left(\frac{t}{2}\right)\right). \end{align*}

Теперь найдем нормализованный вектор касательной:

T(t)=r′(t)∣r′(t)∣. \mathbf{T}(t) = \frac{\mathbf{r}'(t)}{|\mathbf{r}'(t)|}.

Вычислим длину вектора:

∣r′(t)∣=22+(32cos⁡(t2))2+(−32sin⁡(t2))2. |\mathbf{r}'(t)| = \sqrt{2^2 + \left(\frac{3}{2} \cos\left(\frac{t}{2}\right)\right)^2 + \left(-\frac{3}{2} \sin\left(\frac{t}{2}\right)\right)^2}.

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой из векторов сопровождающего трехгранника Френе определяется как нормализованная первая производная радиус-вектора кривой?

Что нужно знать по теме:

Что нужно знать по теме

Алгоритм решения

Топ 3 ошибок

Что спросит препод

Похожие задачи

Похожие задачи

Не нашел нужную задачу?Воспользуйся поиском

AI помощники

Выбери предмет

E
S
А
Б
В
Г
Д
Е
Ж
З
И
К
Л
М
Н
О
П
Р
С
Т
У
Ф
Х
Ц
Ч
Э
Я