В интеграле измените порядок интегрирования, изобразив на чертеже область интегрирования.

Добавлена: 29.04.2026
Обновлена: 29.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Интегральные уравнения

В интеграле измените порядок интегрирования, изобразив на чертеже область интегрирования.

Условие:

В интеграле $\int_{-2 / \sqrt{3}}^{2 / \sqrt{3}} d y \int_{y^{2}}^{y^{2} / 4+1} f(x, y) d x$ измените порядок интегрирования, изобразив на чертеже область интегрирования.

Решение:

Для изменения порядка интегрирования в интеграле

\int_{-2 / \sqrt{3}}^{2 / \sqrt{3}} d y \int_{y^{2}}^{y^{2} / 4+1} f(x, y) d x

сначала определим область интегрирования в плоскости (Oxy).

1. Определение границ области из данного порядка интегрирования

Порядок: сначала (x), потом (y).

Внутренний интеграл: (x) меняется от (x = y^2) до (x = \frac{y^2}{4} + 1).
Внешний интеграл: (y) меняется от (y = -\frac{2}{\sqrt{3}}) до (y = \frac{2}{\sqrt{3}} ).

Значит, область (D) задана неравенствами:

y^2 \le x \le \frac{y^2}{4} + 1, \quad -\frac{2}{\sqrt{3}} \le y \le \frac{2}{\sqrt{3}}.

2. Построение границ области

Рассмотрим кривые:

Левая граница: (x = y^2) — парабола, ветви вправо, вершина ((0,0))).
Правая граница: (x = \frac{y^2}{4} + 1) — тоже парабола, ветви вправо, вершина ((1,0))).

Найдём точки пересечения этих кривых (где (y^2 = \frac{y^2}{4} + 1)):