Для любых модулей над произвольным коммутативным кольцом постройте канонические изоморфизмы: ) (2) , б) (2) .

Добавлена: 13.05.2026
Обновлена: 13.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Алгебраические структуры
#Теория категорий

Для любых модулей над произвольным коммутативным кольцом постройте канонические изоморфизмы: ) (2) , б) (2) .

Условие:

Для любых модулей над произвольным коммутативным кольцом $K$ постройте канонические изоморфизмы:\na) (2) $\operatorname{Hom}(M \oplus N, L) \simeq \operatorname{Hom}(M, L) \oplus \operatorname{Hom}(N, L)$ , б) (2) $\operatorname{Hom}(L, M \oplus N) \simeq \operatorname{Hom}(L, M) \oplus \operatorname{Hom}(L, N)$ .

Решение:

a) Мы хотим показать, что $\operatorname{Hom}(M \oplus N, L) \simeq \operatorname{Hom}(M, L) \oplus \operatorname{Hom}(N, L)$ .

Рассмотрим гомоморфизм $f: M \oplus N \to L$ . По определению, такой гомоморфизм можно представить как пару $(f_M, f_N)$ , где $f_M: M \to L$ и $f_N: N \to L$ — гомоморфизмы модулей.
Для любого элемента $(m, n) \in M \oplus N$ мы можем записать: $f(m, n) = f_M(m) + f_N(n)$ .
Теперь мы можем определить отображение $\Phi: \operatorname{Hom}(M \oplus N, L) \to \operatorname{Hom}(M, L) \oplus \operatorname{Hom}(N, L)$ следующим обр...