Определить скалярную функцию от модуля радиус-вектора , являющуюся решением уравнения :

Чтобы найти скалярную функцию $\varphi(r)$, которая удовлетворяет уравнению $\operatorname{div}(\varphi(r) \times \mathbf{r}) = 0$, начнем с анализа данного уравнения.

1. Запишем выражение для дивергенции. Для векторного поля $\mathbf{F} = \varphi(r) \mathbf{r}$ дивергенция вычисляется по формуле:

   $$\operatorname{div}(\varphi(r) \mathbf{r}) = \nabla \cdot (\varphi(r) \mathbf{r}) = \nabla \varphi(r) \cdot \mathbf{r} + \varphi(r) \nabla \cdot \mathbf{r}$$

2. Вычислим $\nabla \cdot \mathbf{r}$. Вектор $\mathbf{r} = (x, y, z)$ имеет дивергенцию:

   $$\nabla \cdot \mathbf{r} = \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial z} = 3$$

3. Вычислим $\nabla \varphi(r) \cdot \mathbf{r}$. Поскольку $r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$, мы можем выразить градиент $\nabla \varphi(r)$ через производную по $r$:

   $$\nabla \varphi(r) = \frac{d\varphi}{dr} \nabla r = \frac{d\varphi}{dr} \frac{\mathbf{r}}{r}$$
   ...