Для степенного ряда найти сумму целых значений , принадлежащих области сходимости ряда.

Условие:

Для степенного ряда $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^{n}}{(n+6) \cdot 3^{n}}$ найти сумму целых значений $x$ , принадлежащих области сходимости ряда.

Для нахождения области сходимости степенного ряда $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^{n}}{(n+6) \cdot 3^{n}}$ воспользуемся радиусом сходимости.

Рассмотрим общий член ряда:

a_n = \frac{(x-2)^{n}}{(n+6) \cdot 3^{n}}.

Для нахождения радиуса сходимости $R$ используем критерий Коши:

\frac{1}{R} = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}.

Вычислим $\sqrt[n]{|a_n|}$ :

\sqrt[n]{|a_n|} = \sqrt[n]{\frac{|(x-2)^{n}|}{(n+6) \cdot 3^{n}}} = \frac{|x-2|}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt[n]{n+6}}.

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой метод используется для определения радиуса сходимости степенного ряда?

Метод интегрирования по частям

Критерий Коши (или признак Коши)

Метод подстановки