Разбор задачи

Вычислить интеграл , где - дуга параболы , соединяющая точки и .

Условие:

Вычислить интеграл $\int_{C} \operatorname{tg} z d z$ , где $C$ - дуга параболы $y=x^{2}-1$ , соединяющая точки $z_{1}=1$ и $z_{2}=2+3 i$ .

Для вычисления интеграла

\int_{C} \operatorname{tg} z \, dz

по дуге параболы $y = x^2 - 1$ от точки $z_1 = 1$ до точки $z_2 = 2 + 3i$ , нам нужно сначала задать параметризацию кривой $C$ .

Шаг 1: Параметризация кривой

Мы можем выразить $z$ как функцию от $t$ :

\nz(t) = t + (t^2 - 1)i, \quad t \in [1, 2]

где $t$ — это действительная часть, а $(t^2 - 1)$ — мнимая часть.

Шаг 2: Вычисление производной $dz$

Находим производную $dz$ :

\ndz = \frac{dz}{dt} dt = \left(1 + 2ti\right) dt

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой из методов является наиболее подходящим для вычисления интеграла от аналитической функции по незамкнутому контуру в комплексной плоскости?

Применение вычетов.

Использование первообразной функции.

Теорема Коши о вычетах.