Для задачи линейного программирования выполнить следующие действия. . Записать задачу в матричной форме. . Записать каноническую задачу. . Решить задачу геометрически. . Найти начальный базисный план c помощью искусственных переменных. . Решить задачу

Добавлена: 05.05.2026
Обновлена: 05.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Линейная алгебра и аналитическая геометрия
#Теория оптимизации

Для задачи линейного программирования выполнить следующие действия. . Записать задачу в матричной форме. . Записать каноническую задачу. . Решить задачу геометрически. . Найти начальный базисный план c помощью искусственных переменных. . Решить задачу

Условие:

Для задачи линейного программирования выполнить следующие действия.\na. Записать задачу в матричной форме.\nb. Записать каноническую задачу.\nc. Решить задачу геометрически.\nd. Найти начальный базисный план c помощью искусственных переменных.\ne. Решить задачу симплекс-методом.\nf. Написать двойственную задачу к данной задаче в матричной и развёрнутой форме.\ng. Найти решение двойственной задачи и доказать его оптимальность с помощью теоремы двойственности. $

\begin{array}{l} \max \left(3 x_{1}-x_{2}\right) \\ \left\{ \begin{array}{c} 2 x_{1}+6 x_{2} \leq 12 \\ -x_{1}+x_{2} \leq 1 \\ x_{1}+x_{2} \geq 1 \\ x_{1}, x_{2} \geq 0 \end{array}

\end{array} $

Решение:

Здравствуйте! Я помогу вам решить эту задачу линейного программирования по всем пунктам.

Дано

Целевая функция (максимизация):

Z = 3x_1 - x_2 \rightarrow \max

Система ограничений: $

\begin{cases} 2x_1 + 6x_2 \leq 12 \quad &(1) \\ -x_1 + x_2 \leq 1 \quad &(2) \\ x_1 + x_2 \geq 1 \quad &(3) \\ x_1, x_2 \geq 0 \end{cases}

Найти

a. Матричная форма задачи. b. Каноническая форма задачи. c. Геометрическое решение. d. Начальный базисный план с помощью искусственных переменных. e. Решение симплекс-методом. f. Двойственная задача (матричная и развёрнутая формы). g. Решение двойственн...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое из следующих утверждений верно относительно канонической формы задачи линейного программирования, используемой для симплекс-метода?

Все ограничения должны быть представлены в виде неравенств «меньше или равно» (≤).

Все ограничения должны быть представлены в виде равенств, а все переменные должны быть неотрицательными.

Целевая функция всегда должна быть функцией минимизации.

Что нужно знать по теме:

Что нужно знать по теме

Матричная форма задачи линейного программирования: $\max \{c^T x \mid Ax \leq b, x \geq 0\}$ для задачи максимизации и $\min \{c^T x \mid Ax \geq b, x \geq 0\}$ для задачи минимизации.
Каноническая форма задачи линейного программирования требует, чтобы все ограничения были равенствами, а все переменные — неотрицательными. Для этого вводятся дополнительные переменные (slack variables) для ограничений типа "меньше или равно" и избыточные переменные (surplus variables) для ограничений типа "больше или равно".
Геометрический метод решения задач линейного программирования применим для задач с двумя переменными и заключается в построении области допустимых решений (многогранника) и поиске оптимальной вершины путем перемещения линии уровня целевой функции.
Симплекс-метод — это итерационный алгоритм для решения задач линейного программирования, который последовательно переходит от одной базисной допустимой точки к другой, улучшая значение целевой функции до достижения оптимума. Для начала работы симплекс-метода требуется начальный базисный план, который может быть найден с помощью искусственных переменных (метод больших штрафов или двухфазный метод).
Двойственная задача к прямой задаче линейного программирования формулируется на основе её коэффициентов. Если прямая задача — это задача максимизации с ограничениями "меньше или равно", то двойственная задача — это задача минимизации с ограничениями "больше или равно". Оптимальные значения целевых функций прямой и двойственной задач равны (теорема двойственности).